Question

16．一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁．木板右端与墙壁的距离为5m，如图（a）所示，t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反，运过程中小物块始终未离开木板，已知碰撞后1s时间内小物块的v-t图线如图（b）所示．木板的质量是小物块质量的15倍，重力大小g取10m/s²．求
（1）小物块与木板间的动摩擦因数μ₁；
（2）木板与地面间的动摩擦因数μ₂；
（3）求从木板撞到墙上开始计时到小物块速度减为0的过程中，小物块移动的距离x₁和木板离开墙移动的距离x₂；
（4）根据题意求木板的最小长度L．

Answer 1

分析 （1）、（2）对碰前过程由牛顿第二定律时行分析，结合运动学公式可求得μ₂；再对碰后过程分析，研究物块的运动过程，同理可求得μ₁；
（3）分别物块进行分析，由牛顿第二定律求解加速度，由运动学公式求解小物块移动的距离x₁．再对木板研究，由牛顿第二定律和运动学公式求解木板离开墙移动的距离x₂．
（4）对木板和物块达相同静止后的过程进行分析，由牛顿第二定律及运动学公式联立可求得相对位移，即得到木板的最小长度．

解答 解：（1）、（2）设向右为正方向，木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，加速度设为a₁，小物块和木板的质量分别为m和M．
碰墙前，由牛顿第二定律有：
-μ₂（m+M）g=（m+M）a₁
由图可知，木板与墙壁碰前瞬时速度v₁=4m/s；由运动学公式可得：v₁=v₀+a₁t₁
 s₀=v₀t₁+$\frac{1}{2}$a₁t₁²；
式中t₁=1s，而s₀=5m是木板的位移，v₀是小物块和木板开始运动时的速度．
联立以上各式解得：μ₂=0.2．
在木板与墙壁碰撞后，木板以-v₁的初速度向左做匀变速运动，小物块以v₁的初速度向右做匀变速运动．设小物块的加速度为a₂，由牛顿第二定律有：
-μ₁mg=ma₂
由图可得：a₂=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{0-4}{1}$=-4m/s²．
代入以上两式可得：μ₁=0.4；
（3）从木板撞到墙上开始计时到小物块速度减为0的过程中，小物块移动的距离 x₁=$\frac{1}{2}×4×1$m=2m
设碰撞后木板的加速度大小为a₃，由牛顿第二定律得：
  μ₁mg+μ₂（M+m）g=Ma₃
又M=15m
解得：a₃=2.4m/s²；
从木板撞到墙上开始计时到小物块速度减为0的过程中，木板离开墙移动的距离
  x₂=v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$=4×1-$\frac{1}{2}×2.4×{1}^{2}$=2.8m
此时木板的速度大小 v=v₁-a₃t₂=4-2.4×1=2.6m/s
（4）设从物块的速度为零到与木板的速度相等经过时间△t，木板和小物块刚好具有共同速度v₃，由运动学公式得：v₃=v₁-a₃△t=|a₂|△t，解得△t=$\frac{5}{8}$s，v₃=2.5m/s
此过程中，木板运动的位移为：s₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{3}}{2}$△t
小物块的位移为：s₂=$\frac{{v}_{3}}{2}△t$
小物块相对于木板的位移为：△s=s₂-s₁
由以上各式解得：△s=1.25m；
因为运动过程中，小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为 L=x₁+x₂+△s=6.05m
答：
（1）小物块与木板间的动摩擦因数μ₁为0.4．
（2）木板与地面间的动摩擦因数μ₂为0.1．
（3）从木板撞到墙上开始计时到小物块速度减为0的过程中，小物块移动的距离x₁和木板离开墙移动的距离x₂分别为2m和2.8m．
（4）木块的最小长度为6.05m．

点评 本题考查牛顿第二定律及运动学公式的应用，涉及两个物体多个过程，题目中问题较多，但只要认真分析，一步步进行解析，是完全可以求解的．