Question

12．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲表示小滑块（可视为质点）沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的A、A′之间来回滑动，A、A′点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为θ，θ很小．图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t=0为滑块从A点开始运动的时刻，试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息，求：（g取10m/s²）

（1）容器的半径；
（2）滑块的质量；
（3）滑块运动过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）θ很小，滑块的运动与单摆的运动类似，近似为简谐运动，由图读出周期，由单摆的周期公式求出容器的半径．
（2）滑块在最高点，对器壁的压力最小，为F_min=mgcosθ，在最低点速度最大，沿半径方向上的合力提供向心力，此时压力最大，最高点到最低点，机械能守恒，求出滑块的质量．
（3）滑块运动到最低点B时速度达到最大，在B点，由滑块运用牛顿第二定律定律求最大速度．

解答 解：（1）由题图乙得知：小滑块做简谐振动的周期 T=4×$\frac{π}{20}$s=0.2π s
又 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
解得 R=$\frac{{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$=0.1m
（2）在最高点A，有 F_min=mgcosθ=0.495N
在最低点B，有 F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
从A到B，滑块机械能守恒，有 mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
联立解得 m=0.05 kg
（3）由题意知滑块运动到最低点B时速度达到最大，有F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由图得 F_max=0.510N
解得最大速度  v=0.141 m/s．
答：（1）容器的半径是0.1 m．
（2）滑块的质量是0.05 kg．  
（3）滑块运动过程中的最大速度是0.141 m/s．

点评 解决本题的关键知道滑块所做的运动是单摆运动，俗称槽摆，知道其等效摆长等于轨道的半径，以及知道在什么位置压力最大，什么位置压力最小，运用机械能守恒进行求解．