Question

20．如图所示，光滑水平面上叠放着长均为L的木板B和C，木板B的左端放置铁块A（可视为质点），A、B、C的质量均为m，A和B间的动摩擦因数为μ₁，B和C间的动摩擦因数为μ₂，已知μ₁＜μ₂，A、B、C一起以v₀向右匀速运动．现突然对C施加水平向左的恒力，各接触面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．问：
（1）对C施加的水平向左的恒力多大时，A相对B滑动而B相对C静止？
（2）要使A滑离B，C的加速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求解A相对于B滑动时的加速度大小，要使BC不能够相对滑动，其加速度大小应该大于A减速运动的加速度；如果拉力较大，C有可能相对于B向左滑动，再以B为研究对象求解B的加速度大小，最后以C为研究对象求解拉力范围；
（2）当BC的加速度相同时，要使A滑离B，根据牛顿第二定律求解C的最小加速度；当B和C发生相对滑动时，根据相对运动来分析C的最大加速度，由此得到C的加速度范围．

解答 解：设加速度方向向左为正．
（1）以A为研究对象，当A相对于B滑动时，根据牛顿第二定律可得A的加速度大小为：
${a}_{A}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g$，方向向左；
以B、C整体为研究对象，当施加的力F最小时，根据牛顿第二定律可得：
F₁-μ₁mg=2ma_A
联立解得：F₁=3μ₁mg；
当BC恰好相对滑动时，以B为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
μ₂•2mg-μ₁mg=ma_B，
解得：a_B=（2μ₂-μ₁）g
再以C为研究对象，根据牛顿第二定律可得：
F₂-2μ₂mg=ma_B，
解得：F₂=（4μ₂-μ₁）mg，
所以满足A相对B滑动而B相对C静止的拉力F大小为：3μ₁mg＜F＜（4μ₂-μ₁）mg；
（2）当BC的加速度相同时，要使A滑离B，则a_C＞a_A=μ₁g；
当B和C发生相对滑动时，A滑离B的时间为t，由于三者的初速度相同，所以相对初速度为零；
则根据相对运动可得相对位移：$L=\frac{1}{2}（{a}_{B}-{a}_{A}）{t}^{2}$，
此过程中B相对于C的位移大小不能大于L，则根据相对运动可得：
$L=\frac{1}{2}（{a}_{C}-{a}_{B}）{t}^{2}$
联立解得：a_C=2a_B-a_A=2×（2μ₂-μ₁）g-μ₁g=（4μ₂-3μ₁）g，
故C的加速度应该满足：μ₁g＜a_C＜（4μ₂-3μ₁）g．
答：（1）对C施加的水平向左的恒力为3μ₁mg＜F＜（4μ₂-μ₁）mg时，A相对B滑动而B相对C静止；
（2）要使A滑离B，C的加速度应满足的条件是μ₁g＜a_C＜（4μ₂-3μ₁）g．

点评 本题主要是考查了牛顿第二定律的知识；利用牛顿第二定律答题时的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、进行正交分解、在坐标轴上利用牛顿第二定律建立方程进行解答；注意整体法和隔离法的应用．