Question

中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只；B．弹簧秤一把；C．已知质量为m的物体一个；D．天平一只（附砝码一盒）．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量所得的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G）
（1）机器人进行第二次测量的内容是什么？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．

Answer 1

分析：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．

解答：解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小． 
（2）在月球上忽略月球的自转有 
F=G

Mm

R2

对飞船靠近月球表面做圆周运动有 
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又 T=

t

N

 由以上各式可得：
月球的半径R=

Ft2

4π2N2m

月球的质量M=

F3t4

16π4N4m3G

答：（1）机器人进行第二次测量的内容是测量物体在月球上所受的重力．
（2）月球的半径为R=

Ft2

4π2N2m

  月球的质量为M=

F3t4

16π4N4m3G

点评：登月飞船绕月球旋转与人造卫星绕地球运行相似，要建立物理模型：飞船绕月做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供飞船的向心力．