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    8．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1，如图（1）所示．另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个项点上，第四颗星刚好位于三角形的中心不动，三颗星沿等边三角形的半径为a的外接圆的圆形轨道运行，其运动周期为T2，如图（2）所示．试求两种形式下，星体运动的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$？

    分析 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
    在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，
    根据F合=mr（$\frac{2π}{T}$）2，求出星体匀速圆周运动的周期．

    解答 解：对于第一种形式：
    星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r1=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
    由万有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
    解得：T1=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
    对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，由几何关系得三角形的边长为$\sqrt{3}a$，即r2=$\sqrt{3}$a，由所受合力等于向心力得
    $\frac{{2Gm}^{2}}{3{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}a$
    解得T2=$2π\sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
    故：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$
    答：星体运动的周期之比为$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$．

    点评 知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．
    万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．

    练习册系列答案
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    A．第1s内上极板带负电
    B．第3s内上极板带负电
    C．第2s内板间的电场强度为$E=\frac{{{π_{\;}}{r^2}{B_0}}}{d}$
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    A．${（{\frac{N}{N+1}}）^{\frac{2}{3}}}$B．${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{2}{3}}}$C．${（{\frac{N}{N+1}}）^{\frac{3}{2}}}$D．${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{3}{2}}}$

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    A．A、B 落地时间相同
    B．A、B 落地时间差与车辆速度无关
    C．A、B 落地时间差与车辆速度成正比
    D．A、B 落地时间差和车辆碰撞瞬间速度的乘积等于△L

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