Question

如图甲所示，长方形金属框abcd（下面简称方框），各边长度为ac=bd=

l

2

、ab=cd=l，方框外侧套着一个内侧壁长分别为

l

2

及l的U型金属框架MNPQ（下面简称U型框），U型框与方框之间接触良好且无摩擦．两个金属框的质量均为m，PQ边、ab边和cd边的电阻均为r，其余各边电阻可忽略不计．将两个金属框放在静止在水平地面上的矩形粗糙绝缘平面上，将平面的一端缓慢抬起，直到这两个金属框都恰能在此平面上匀速下滑，这时平面与地面的夹角为θ，此时将平面固定构成一个倾角为θ的斜面．已知两框与斜面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．在斜面上有两条与其底边垂直的、电阻可忽略不计，且足够长的光滑金属轨道，两轨道间的宽度略大于l，使两轨道能与U型框保持良好接触，在轨道上端接有电压传感器并与计算机相连，如图乙所示．在轨道所在空间存在垂直于轨道平面斜向下、磁感强度大小为B的匀强磁场．

（1）若将方框固定不动，用与斜面平行，且垂直PQ边向下的力拉动U型框，使它匀速向下运动，在U形框与方框分离之前，计算机上显示的电压为恒定电压U₀，求U型框向下运动的速度多大；
（2）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U型框垂直PQ边沿斜面向下的初速度v₀，如果U型框与方框最后能不分离而一起运动，求在这一过程中电流通过方框产生的焦耳热；
（3）若方框开始时静止但不固定在斜面上，给U型框垂直PQ边沿斜面向下的初速度3v₀，U型框与方框将会分离．求在二者分离之前U型框速度减小到2v₀时，方框的加速度．
注：两个电动势均为E、内阻均为r的直流电源，若并联在一起，可等效为电动势仍为E，内电阻为

r

2

的电源；若串联在一起，可等效为电动势为2E，内电阻为2r的电源．

Answer 1

分析：（1）根据导体棒切割磁感线产生电动势公式求出感应电动势，由欧姆定律可以求出速度．
（2）分析棒的运动过程，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出产生的热量．
（3）由动量守恒定律、感应电动势公式、欧姆定律、安培力公式与牛顿第二定律可以求出加速度．

解答：解：（1）当U型框以速度v运动时，在与方框分离之前，方框ab边和cd边为外电路，PQ边为电源，它产生的感应电动势E=Blv，
内电路电阻为r，外电路电阻为0.5r，U0=

0.5r

(r+0.5r)

Blv，
解得：v=

3U0

Bl

；
（2）由于两金属框在斜面上恰能匀速下滑，所以沿斜面方向两个金属框所受合力为零，因此两个金属框组成的系统沿斜面方向动量守恒．
设二两个金属框一起运动的共同速度为v₁，则 mv₀=2mv₁，解得v1=

1

2

v0
两个框产生的焦耳热：Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

×2mv12=

1

4

m

v

2 0

，
设方框产生的焦耳为Q_方，则

Q方

Q

=

0.5r

1.5r

=

1

3

，
解得Q方=

1

12

m

v

2 0

，
（3）设U型框速度为2v₀时，方框的速度为v₂，二框组成的系统沿斜面方向动量守恒，
则3mv₀=2mv₀+mv₂，解得v₂=v₀
框组成回路的总电动势  E_总=2Blv₀-Blv₀=Blv₀，
两框组成回路中的电流 I=

E总

R总

=

Blv0

r+0.5r

=

2Blv0

3r

，
方框受到的安培力即为合外力 F=BIl=

2B2l2v0

3r

，
根据牛顿第二定律解得此时方框的加速度  a=

F

m

=

2B2l2v0

3mr

；
答：（1）U型框向下运动的速度为

3U0

Bl

．
（2）电流通过方框产生的焦耳热为

1

12

mv₀²．
（3）二者分离之前U型框速度减小到2v₀时，方框的加速度为

2B2l2v0

3mr

．

点评：分析清楚物体的运动过程，对导体棒正确受力分析、从能量的角度分析问题是正确解题的关键．