Question

【题目】如图所示，竖直面内固定一倾角为45°的足够长光滑斜面，其上滑轮的顶端与一个固定的半径R=0.5m的光滑圆弧最高点M及圆心O在同一水平线上。可视为质点的A、B两球质量分别为mA=1kg和mB=2kg，用足够长的跨过滑轮及M点的细绳相连，A球的另一侧与一固定在斜面底端挡板处的弹簧相连，劲度系数k=20N/m。起初用手托住B球在M点，细绳恰好伸直但无拉力。不计一切摩擦及滑轮质量，斜面上的细绳、弹簧与斜面平行，无初速度释放B球且此后细绳始终绷紧，g=10m/s2。

（1）求初始状态弹簧的形变量。

（2）求B球到达圆弧轨道最低点时，弹簧的形变量及A、B两球的速度比值。

（3）求B球到达圆弧轨道最低点时，A球的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）

【解析】

（1）初始状态A球处于平衡状态，所受合外力为零，对A球列式求解弹簧的形变量。（2）末态A球的实际速度沿斜面向上，B球的速度沿圆弧切线水平向右，二者实际速度沿绳方向的投影相等，根据平行四边形定则求出两个速度的关系。（3）由A球、B球、弹簧组成的系统机械能守恒，求解A的速度。

（1）初始状态A球处于平衡状态，所受合外力为零

对A球有：

得：压缩量

（2）当B球到达圆弧轨道最低点时，A球沿斜面上升的距离为

此时弹簧伸长量

末态A球的实际速度沿斜面向上，B球的速度沿圆弧切线水平向右，二者实际速度沿绳方向的投影相等，即vA=vBcos450

解得

（3）因，故弹簧始末状态的弹性势能相等，

由A球、B球、弹簧组成的系统机械能守恒有：

得：vA=m/s