Question

20．在竖直平面内固定一轨道ABCO，AB段水平放置，长为4m，BCO段弯曲且光滑；一质量为1.0kg、可视作质点的圆环套在轨道上，圆环与轨道AB段之间的动摩擦因数为0.5．建立如图所示的直角坐标系，圆环在沿x轴正方向的恒力F作用下，从A（-7，2）点由静止开始运动，到达原点O时撤去恒力F，圆环从O（0，0）点水平飞出后经过D（6，3）点．重力加速度g取10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）圆环到达O点时的速度大小及轨道对圆环弹力大小；
（2）恒力F的大小；
（3）圆环在AB段运动的时间．

Answer 1

分析 （1）圆环从O到D做平抛运动，根据高度和水平位移，由平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律求出平抛运动的初速度，即圆环到达O点时的速度大小．
在O点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道对圆环的弹力．
（2）对A到O过程，运用动能定理，求出恒力F的大小．
（3）根据牛顿第二定律，结合运动学公式求出圆环在AB段的运动时间．

解答 解：（1）圆环从O到D过程中做平抛运动，有
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}$gt²
读图得 x=6 m，y=3 m
代入上式解得 v₀=2$\sqrt{15}$m/s
在O点，以圆环为研究对象，由牛顿第二定律得
   mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 N=30N
（2）圆环从A到O过程中，根据动能定理得
   Fx_AO-μmgx_AB-mgy′=$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据得 F=10N
（3）圆环从A到B过程中，根据牛顿第二定律得
   F-μmg=ma
由运动学公式有 x_AB=$\frac{1}{2}$at²
代入数据得  t=$\sqrt{\frac{8}{5}}$s≈1.26s
答：
（1）圆环到达O点时的速度大小是2$\sqrt{15}$m/s，轨道对圆环弹力大小是30N；
（2）恒力F的大小是10N；
（3）圆环在AB段运动的时间是1.26s．

点评 解决本题的关键理清圆环在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律．