Question

19．如图所示，K是粒子发生器，D₁、D₂、D₃是三块挡板，通过传感器可控制它们定时开启和关闭，D₁、D₂的间距为L，D₂、D₃的间距为$\frac{L}{2}$．在以O为原点的直角坐标系Oxy中有一磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，y轴和直线MN是它的左、右边界，且MN平行于y轴．现开启挡板D₁、D₃，粒子发生器仅在t=0时刻沿x轴正方向发射各种速率的粒子，D₂仅在t=nT（n=0，1，2…，T为周期）时刻开启，在t=5T时刻，再关闭挡板D₃，使粒子无法进入磁场区域．已知挡板的厚度不计，粒子质量为m、电荷量为+q（q大于0），不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，整个装置都放在真空中．
（1）求能够进入磁场区域的粒子的速度大小；
（2）已知从原点O进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0，2）的P点，应将磁场边界MN在Oxy平面内如何平移，才能使从原点O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（$3\sqrt{3}$，6 ）的Q点？

Answer 1

分析 （1）粒子必须在D₃关闭前进入磁场才行，粒子由D₁到D₂和由D₂到D₃都是匀速直线运动，可得运动时间表达式，两段时间之和应小于等于5T，可解得能够进入磁场区域的粒子的速度．
（2）由进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点可确定其轨道半径，进而确定最小速度；由（1）得到的速度表达式，可得最大速度，由速度关系可确定速度最大粒子的半径，做出运动轨迹图，由几何关系来判定该如何移动磁场的右边界MN．

解答 解：（1）设能够进入磁场区域的粒子的速度大小为v_n，
由题意可知，粒子由D₁到D₂经历的时间为：△t₁=$\frac{L}{{v}_{n}}$=nT  （n=1、2…）
粒子由D₂到D₃经历的时间为：△t₂=$\frac{L}{2{v}_{n}}$=$\frac{nT}{2}$，
t=5T时刻，挡板D₃关闭，粒子无法进入磁场，故有△t=△t₁+△t₂≤5T，
解得：n≤$\frac{10}{3}$，即：n=1、2、3，
所以，能够进入磁场区域的粒子的速度为
所以，能够进入磁场区域的粒子的速度为：${v_n}=\frac{L}{nT}$（n=1、2、3）；
（2）进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0 cm，2 cm）的P点，所以R=1 cm．
粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}$，
由此可知，进入磁场中粒子的最大速度是最小速度的3倍，
故：R′=3R=3 cm，其圆心E坐标为（0，3 cm）；
过Q点作圆轨迹的切线，设切点F的坐标为（x₀，y₀）．
若此粒子在F点飞出磁场区域，它将沿直线FQ运动到Q点．
故F点一定在磁场的边界上．由图可知：
$tanθ=\frac{{3\sqrt{3}-{x_0}}}{{6-{y_0}}}$
$tanθ=\frac{{3-{y_0}}}{x_0}$，
由几何关系有：$x_0^2+{（3-{y_0}）^2}={3^2}$
联立解得${x_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}cm$，${y_0}=\frac{3}{2}cm$
因此，只要将磁场区域的边界MN平行左移到：${x_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}cm$的F点，
速度最大的粒子在F点穿出磁场，将沿圆轨迹的切线方向到达Q点．
答：（1）能够进入磁场区域的粒子速度大小为：${v_n}=\frac{L}{nT}$（n=1、2、3）（n=1、2、3）．
（2）已知从原点O进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点，将磁场边界的MN平移到图中F点，才能使从原点O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（3$\sqrt{3}$cm，6cm）的Q点．

点评 该题的关键点在于做速度最大粒子的轨迹图，带电粒子在磁场中运动，在混合场中的运动等问题，最重要的就是做出运动轨迹图，做这种图首先要能确定半径，其次要确定初末速度的方向．