Question

如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右并非放有序号是1，2，3，…，n的物体，所有物块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数都相同，开始时，木板静止不动，第1，2，3，…n号物块的初速度分别是v，2 v，3 v，…nv，方向都向右，木板的质量与所有物块的总质量相等 ,最终所有物块与木板以共同速度匀速运动。设物块之间均无相互碰撞，木板足够长。试求：

（1）所有物块与木板一起匀速运动的速度v；

（2）第1号物块与木板刚好相对静止时的速度v；

（3）通过分析与计算说明第k号（k＜n＝物块的最小速度v

Answer 1

（1）设所有物块都相对木板静止时的速度为 v，因木板与所有物块系统水平方向不受外力，动量守恒，应有：

m v+m·2 v+m·3 v+…+m·n v=（M + nm）v     

              M = nm，                              

解得:          v=（n+1）v，

（2）设第1号物块相对木板静止时的速度为v，取木板与物块1为系统一部分，第2 号物块到第n号物块为系统另一部分，则

      木板和物块1    △p =（M + m）v-m v，

      2至n号物块    △p=（n-1）m·（v- v）

由动量守恒定律： △p=△p，

解得            v= v，                   

（3）设第k号物块相对木板静止时的速度由v ，则第k号物块速度由k v减为v的过程中，序数在第k号物块后面的所有物块动量都减小m（k v- v），取木板与序号为1至K号以前的各物块为一部分，则 

△p=（M+km）v-（m v+m·2 v+…+mk v）=（n+k）m v-（k+1）m v

序号在第k以后的所有物块动量减少的总量为

     △p=（n-k）m（k v- v）

由动量守恒得   △p=△p， 即

（n+k）m v-（k+1）m v= （n-k）m（k v- v），

解得        v=