Question

7．如图所示，ABC是光滑半圆形轨道，轨道直径AOC沿竖直方向，长为0.8m，今有一质量为m的小球自A点以初速度v水平射入轨道内，求：
（1）小球能沿轨道运动时，水平初速度v的最小值；
（2）小球以（1）问的最小初速度运动后到达C点时轨道对小球的支持力是多少；
（3）若小球的水平初速度小于（1）中最小值，小球有无可能经过B点？若能，求出初速度满足的条件；若不能，说明理由．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球在A点时重力提供向心力，此时速度最小，由牛顿第二定律求出小球的最小速度．
（2）机械能守恒定律求出小球到达C点时的速度，由牛顿第二定律求出支持力．
（3）小球的速度小于做圆周运动的最小速度，小球抛出后做平抛运动，应用平抛运动知识分析答题．

解答 解：（1）小球能沿轨道运动的临界速度是：
在A点时重力提供小球做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×\frac{0.8}{2}}$=2m/s；
（2）小球从A到C过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgD+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
在B点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=60m；
（3）小球的速度小于2m/s，则小球抛出后做平抛运动，
如果球恰好过B点，则：水平方向：R=vt，
竖直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²，解得：v=$\sqrt{2}$m/s；
答：（1）小球能沿轨道运动时，水平初速度v的最小值是2m/s
（2）小球以（1）问的最小初速度运动后到达C点时轨道对小球的支持力是60m；
（3）若小球的水平初速度小于（1）中最小值，小球有可能经过B点，初速度满足的条件是：$\sqrt{2}$m/s≤v＜2m/s．

点评 本题是一道力学综合题，考查了求小球的速度、轨道的支持力等问题；分析清楚小球的运动过程、知道小球满足题意时速度的临界条件是正确解题的关键；应用牛顿第二定律、机械能守恒定律、平抛运动规律可以解题．