Question

15．如图所示，边长为L的正方形区城内有匀强磁场，一带电量为+q、质量为m的粒子从上边缘的中点垂直磁场边界以速度v₀射入，恰好可以从B点射出，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子仍从A点射入，速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，试确定射出点的位置；
（3）若粒子仍从A点射入，速度为2v₀，试确定射出点的位置．

Answer 1

分析 （1）确定粒子做匀速圆周运动的圆心，画出轨迹过程图，洛伦兹力提供向心力结合几何关系（勾股定理）即可求出磁感应强度B；
（2）确定粒子做匀速圆周运动的圆心，画出粒子速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$的轨迹过程图，洛伦兹力提供向心力结合几何关系（勾股定理）即可求出射点位置；
（3）确定粒子做匀速圆周运动的圆心，画出粒子速度为2v₀的轨迹过程图，洛伦兹力提供向心力结合几何关系（勾股定理）即可求出射点位置．

解答 解：（1）画出粒子轨迹过程图，如图一所示，设粒子的半径为R₁，圆心为O₁，

根据洛伦兹力提供向心力：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$ ①
根据勾股定理有：${R}_{1}^{2}$=L²+${（{R}_{1}-\frac{L}{2}）}^{2}$  ②
①②式联立得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{5qL}$ ③
（2）画出粒子轨迹过程图，如图二所示，粒子在BC边上的D点射出，设粒子轨迹半径为R₂，圆心为O₂，

根据洛伦兹力提供向心力：q$\frac{{v}_{0}}{2}$B=m$\frac{（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}}{{R}_{2}}$ ④
根据勾股定理得：${R}_{2}^{2}$=（CD）²+${（{R}_{2}-\frac{L}{2}）}^{2}$ ⑤
③④⑤式联立得：CD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$L
所以粒子将在BC边上距C点距离为$\frac{\sqrt{6}}{4}$L的D点射出
（3）画出粒子轨迹过程图，如图三所示，粒子在BE边上的F点射出，设粒子轨迹半径为R₃，圆心为O₃，

洛伦兹力提供向心力，由q•2v₀B=m$\frac{{（2{v}_{0}）}^{2}}{{R}_{3}}$ ⑥
③⑥式联立得可得：R₃=$\frac{5}{2}$L ⑦
根据勾股定理得：${R}_{3}^{2}$=（O₃G）²+L^{2 ⑧}
⑦⑧式联立得：O₃G=$\frac{\sqrt{21}}{2}$L
根据几何关系可得：BF=CG=AC-（R₃-O₃G）=（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L
所以粒子将在BE边上距B点距离为（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L的F点射出
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{4m{v}_{0}}{5qL}$；
（2）粒子仍从A点射入，速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，粒子将在BC边上的距C点距离为$\frac{\sqrt{6}}{4}$L的D点射出；
（3）若粒子仍从A点射入，速度为2v₀，粒子将在BE边上的距B点距离为（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L的F点射出．

点评 本题考查带电粒子在磁场中运动，要求同学们熟练掌握洛伦兹力提供向心力与几何关系结合的解题方法，准确作图是解决问题的关键，同时也可以提高解题效率．