Question

19．在长期的科学实践中，人类已经建立起各种形式的能量概念及其量度的方法，其中一种能量是势能．势能是由于各物体间存在相互作用而具有的、由各物体间相对位置决定的能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．
（1）如图1所示，内壁光滑、半径为R的半圆形碗固定在水平面上，将一个质量为m的小球（可视为质点）放在碗底的中心位置C处．现给小球一个水平初速度v₀（v₀＜$\sqrt{2gR}$），使小球在碗中一定范围内来回运动．已知重力加速度为g．
a．若以AB为零势能参考平面，写出小球在最低位置C处的机械能E的表达式；
b．求小球能到达的最大高度h；说明小球在碗中的运动范围，并在图1中标出．
（2）如图2所示，a、b为某种物质的两个分子，以a为原点，沿两分子连线建立x轴．如果
选取两个分子相距无穷远时的势能为零，则作出的两个分子之间的势能E_p与它们之间距离x的E_p-x关系图线如图3所示．

a．假设分子a固定不动，分子b只在ab间分子力的作用下运动（在x轴上）．当两分子间距离为r₀时，b分子的动能为E_k0（E_k0＜E_p0）．求a、b分子间的最大势能E_pm；并利用图3，结合画图说明分子b在x轴上的运动范围；
b．若某固体由大量这种分子组成，当温度升高时，物体体积膨胀．试结合图3所示的E_p-x关系图线，分析说明这种物体受热后体积膨胀的原因．

Answer 1

分析 （1）明确机械能的定义，分别表示动能和势能即可求得机械能；根据机械能守恒分析小球的运动情况；
（2）分析分子运动中能量的转化规律和受力情况，从而明确粒子的运动情况；分析温度变化时分子动能的变化，从而明确分子的范围．

解答 解：（1）a．小球的机械能E=$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR
b．以水平面为零势能参考平面
根据机械能守恒定律 $\frac{1}{2}$mv₀²=mgR
解得 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
小球在碗中的M与N之间来回运动，M与N等高，如图所示． 
（2）a．根据功能关系可知，当b分子速度为零时，此时两分子间势能最大根据能量守恒，有E_pm=E_k0-E_p0
由E_p-x图线可知，当两分子间势能为E_pm时，b分子对应x₁和 x₂两个位置坐标，b分子的活动范围△x=x₂-x₁，如图所示．
b．当物体温度升高时，分子在x=r₀处的平均动能增大，分子的活动范围△x将增大．
由E_p-x图线可以看出，曲线两边不对称，x＜r₀时曲线较陡，x＞r₀时曲线较缓，导致分子的活动范围△x主要向x＞r₀方向偏移，即分子运动过程中的中间位置向右偏移，从宏观看物体的体积膨胀．
答：
（1）a．若以AB为零势能参考平面，小球在最低位置C处的机械能E的表达式为$\frac{1}{2}$mv₀²-mgR；
b．小球能到达的最大高度$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；小球在碗中的M与N之间来回运动，M与N等高，如图所示；
（2）a、b分子间的最大势能E_pm为E_k0-E_p0；运动范围如图所示．

点评 本题考查机械能以及分子势能，明确二者的关系，知道分子势和和重力势能的共性，同时分别根据功能关系分析对应的运动情况．