Question

15．如图所示，长S=10m的平台AB固定，长L=6m质量M=3kg的木板放在光滑地面上，与平台平齐且靠在B处，右侧有落差h=0.1m的光滑弧形桥CD（桥的支柱未画出），桥面的最低位置与AB水平线等高（木板可从桥下无障碍的前行）．已知木板右侧与弧形桥左侧C端的水平距离d=1.5m，弧形桥顶部圆弧半径相等R=0.4m（半径未画出）．现有质量m=1kg的物块，以初速度v₀=12m/s从A点向右运动，过B点后滑上木板，物块与平台、木板间的滑动摩擦因数 μ=0.4，物块滑上弧形桥时无机械能损失，当物块到达圆弧最高点时D时，木板中点刚好到达D点正下方．物块大小忽略，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物块滑至B点时的速度大小v；
（2）物块与木板能否达到共速，若能，确定两物体共速时木板的位置和物块在木板上的位置；
（3）物块到达弧形桥顶端D点时所受到的支持力F及物块与木板相碰点到木板左端的距离S₀．

Answer 1

分析 （1）物块由A点至B点的过程，运用动能定理列式，即可求得物块滑至B点时的速度大小v．
（2）物块滑上木板后，物块和木板组成的系统动量守恒，假设物块与木板能达到共速，分别对木板和木板及物块组成的系统，运用动能定理列式，求出木板向右运动的位移和物块相对木板的相对位移，即可判断能否共速．
（3）物块冲至桥顶D点时由机械能守恒定律求出到达D点的速度，在D点，由牛顿第二定律求出支持力F．物块从D点做平抛的过程中，木板向右做匀速运动，根据平抛运动和匀速运动的规律求解物块与木板相碰点到木板左端的距离S₀．

解答 解：（1）物块由A点至B点，由动能定理得：$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=-μmgS$
解得：v=8m/s
（2）物块滑上木板后，物块和木板组成的系统动量守恒，设物块与木板达到共速时的速度为v₁，木板向右运动的位移为S₁，物块相对木板的相对位移为S₂．选速度v的方向为正，有：
mv=（m+M）v₁
$\frac{1}{2}Mv_1^2=μmg{S_1}$
$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}（{m+M}）v_1^2=μmg{S_2}$
得：S₁=1.5m=d，即木板则好到达C位置．
S₂=6m=L，即物块刚好滑至木板右侧．
（3）设物块冲至桥顶D点时的速度为v₂，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_2^2+mgh=\frac{1}{2}mv_1^2$
物块到达D点时：$mg-F=m\frac{v_2^2}{R}$
得：F=5N
物块从D点做平抛的过程中，木板向右做匀速运动，设物块平抛射程为X₁，木板向右运动X₂，则有：
${X_1}={v_2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
${X_2}={v_1}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
物块落在木板上的位置离木板左端距离：
${S_0}=\frac{1}{2}L-（{{X_2}-{X_1}}）=\frac{{16-\sqrt{2}}}{5}m$
答：
（1）物块滑至B点时的速度大小v为8m/s；
（2）物块刚好滑至木板右侧；
（3）物块到达弧形桥顶端D点时所受到的支持力F为5N，物块与木板相碰点到木板左端的距离S₀为$\frac{16-\sqrt{2}}{5}$m．

点评 本题的过程比较复杂，要有将整个过程分解成若干个子过程研究的能力．知道物块在木板上滑行时，系统的动量守恒，能量也守恒．在D点，由合力提供物块的向心力．