Question

（2013?普陀区一模）如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x₀的条形匀强磁场区域1、2…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．

（1）对金属棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q．
（2）对金属棒ab施加水平向右的拉力，让它从图示位置由静止开始做匀加速运动，当棒进入磁场区1时开始做匀速运动，速度的大小为v．此后在不同的磁场区施加不同的拉力，使棒保持做匀速运动穿过整个磁场区．取棒在磁场1区左边界为x=0，作出棒ab所受拉力F随位移x变化的图象．
（3）求第（2）中棒通过第i（1≤i≤n）磁场区时的水平拉力F_i和棒在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q．
（用x₀、B、L、m、R、n表示）

Answer 1

分析：（1）法拉第电磁感应定律、欧姆定律求解棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q．
（2）当棒进入磁场区时开始做匀速运动，拉力与安培力平衡，由安培力公式F_A=

B2L2v

R

，得到拉力，可作出图象．

△Φ

R

（3）由动能定理求出棒刚进入磁场时的速度，由拉力与安培力平衡，可求得棒通过第i（1≤i≤n）磁场区时的水平拉力F_i．棒克服安培力做功，等于产生的热量，可求解总热量．

解答：解：（1）电路中产生的感应电动势为：E=

△Φ

△t

通过电阻R的电量为：q=

.

I

△t，

.

I

=

. E

R

，
得到 q=

△Φ

R

导体棒通过I区过程：△Φ=BLx₀
解得：q=

BLx0

R

（2）当棒进入磁场区时开始做匀速运动，拉力与安培力平衡，由安培力公式F_A=

B2L2v

R

，则得  拉力F=F_A=

B2L2v

R

，作图如图．

（3）设进入I区时拉力为F₁，速度v，则有：
   F1x0=

1

2

mv 2 ①
   F₁=F_A=

B2L2v

R

，②
联立①②解得   F1=

2B4L4x0

mR2

，v=

2B2L2x0

mR

所以   Fi=

2i2B4L4x0

mR2

Q=F₁x₀+F₂x₀…+F_nx₀
故Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

（1²+2²+…n²）
答：（1）棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q为

BLx0

R

．
（2）拉力F随位移x变化的图象如图．
（3）棒通过第i（1≤i≤n）磁场区时的水平拉力F_i为 Fi=

2i2B4L4x0

mR2

，棒在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q=

2 x 2 0 B4L4

mR2

（1²+2²+…n²）．

点评：对于电磁感应问题，感应电量q=

△Φ

R

和安培力F_A=

B2L2v

R

，都是常用的经验公式，在学会推导的基础上记牢，有助于分析．本题是数列问题，运用归纳法研究．