Question

20．如图甲所示，长、宽分别为L₁、L₂的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n，总电阻为r，可绕其竖直中心轴O₁O₂转动．线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷和定值电阻R相连．线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场，磁感应强度B的大小随时间t的变化关系如图乙所示，其中B₀、B₁和t₁均为已知．在0～t₁的时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直；t₁时刻后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω匀速转动．求：
（1）0～t₁时间内通过电阻R的电流大小；
（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量；
（3）线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量．

Answer 1

分析 （1）先求出感应电动势，再根据闭合电路欧姆定律求解电流；
（2）线框产生感应电动势的最大值 E_m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nB₁ L₁L₂ω，进而求出有效值，根据 Q=I²Rt即可求解在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量；
（3）先求出平均电动势，再求出平均电流，根据q=$\overline{I}t$即可求解．

解答 解：（1）0～t₁时间内，线框中的感应电动势为：
E=n $\frac{△φ}{△t}=\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{{T}_{1}}$
根据闭合电路欧姆定律可知，通过电阻R的电流为：
I=$\frac{E}{R+r}=\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{（R+r）{t}_{1}}$
（2）线框产生感应电动势的最大值为：E_m=nB₁ L₁L₂ω
感应电动势的有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nB₁ L₁L₂ω
通过电阻R的电流 的有效值为：I=$\frac{\sqrt{2}n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}ω}{2（R+r）}$
线框转动一周所需的时间为：t=$\frac{2π}{ω\;}$
此过程中，电阻R产生的热量为：Q=I²Rt=πRω$（\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$
（3）线框从图甲所示位置转过90°的过程中，平均感应电动势为：$\overline{E}=n\frac{{△}_{φ}}{{△}_{t}}=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{△t}$  
平均感应电流为：$\overline{I}=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{△t（R+r）}$
通过电阻R的电荷量为：q=$\overline{I}△t=\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$
答：（1）0～t₁时间内通过电阻R的电流大小为$\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{（R+r）{t}_{1}}$；
（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R产生的热量为πRω${（\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）}^{2}$；
（3）线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R的电荷量为$\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$

点评 本题考查交变电流最大值、有效值的理解和应用的能力，对于交流电表的测量值、计算交流电功率、电功等都用到有效值，求电量时，I需要用平均值．