Question

如图所示，水平地面上方有一绝缘弹性竖直薄档板，板高h=3m，与板等高处有一水平放置的小篮筐，筐口中心距挡板s=1m．图示空间同时存在着匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T，而匀强电场未在图中画出．质量m=1×10^-3kg、电量q=-2×10^-3C的带电小球a（视为质点），自挡板下端以某一水平速度v₀开始向左运动，与质量相等，静止不带电小球b（视为质点）发生弹性碰撞．b球向左侧运动恰能做匀速圆周运动，若b球与档板相碰后以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，b小球最后都能从筐口的中心处落入筐中．（g取10m/s²，可能会用到三角函数值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．试求：
（1）碰撞后两小球速度大小
（2）电场强度的大小与方向；
（3）小球运动的可能最大速率；
（4）b小球运动的可能最长时间．

Answer 1

（1）两个小球弹性碰撞过程，系统动量守恒、机械能守恒，有：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂

1

2

ma

v

20

=

1

2

ma

v

21

+

1

2

mb

v

22

解得：v₁=0，v₂=v₀
（2）小球做匀速圆周运动，则有：
qE=mg
故有：E=

mg

q

=10N/C
电场方向竖直向下
（2）若小球速率最大，则运动半径最大，如轨迹①所示：

R

21

=s²+（h-R₁）²
可得：R₁=

5

3

m
由qv₁B=m

v 21

R1

解得：v₁=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因为速度方向与半径垂直，圆心必在挡板所在的竖直线上．

且R≥s=1m
小球与挡板碰撞n次后落入筐中，则有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保证小球落入筐中
①当n=0时，即为（2）问中的解
②当n=1时，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，运动轨迹如由图中②所示
或者R₃=

5

4

m，运动轨迹如由图中③所示
以轨迹③运动，小球所花时间最长，则有：
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，轨迹③运动对应的圆心角α=360°+（180°-53°）=487°
运动最长时间为：
t=

α

360°

T=

974°

360°

π≈8.5s
答：（1）碰撞后a球速度大小为零，b球速度大小为v₀；
（2）电场强度E=10N/C，电场方向竖直向下；
（3）小球运动的可能最大速率为

5

3

m/s；
（4）小球运动的可能最长时间为8.5s．