Question

（2011?绍兴二模）如图所示，在xoy平面内x＞0处有一半圆形匀强磁场，磁场区域圆心为O，半径为R=0.10m，磁感应强度大小为B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在y轴左侧（图中未画出），不断沿平行于x轴正方向放出电荷量为q=+1.6×10^-19C、初速度为v₀=1.6×10⁶m/s的粒子，粒子的质量为m=1.0×10^-26kg，不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计．求：
（1）从O点入射的粒子离开磁场区域的y轴坐标；
（2）从y轴任意位置（0，y）入射的粒子在离开磁场时的速度方向与正x轴夹角的余弦值；
（3）这些粒子在该磁场中运动的最长时间，并指出该粒子入射时的坐标．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做圆周运动，根据粒子的运动轨迹和几何关系可以求得粒子设出时的位置的坐标；
（2）从任意位置进入磁场时，根据粒子的运动画出粒子的运动的轨迹，再由三角形得关系可以求得速度方向；
（3）粒子在磁场中运动的圆心角越的，粒子在磁场中运动的时间就越长，根据粒子的运动的轨迹的关系，可以求得粒子的运动最长时间的位置．

解答：解：
（1）粒子在磁场中的运动满足
qvB=m

v 2 0

r

可得粒子的运动的半径为r=

mv0

qB

=0.2m
当粒子从O点入射时，画出粒子的运动轨迹圆弧OP，设P点坐标为（x_p，y_p），则OQ=y_p，
故O′Q=r-y_p，
由直角三角形△O′PQ关系可得：
x

2 p

+(r-yp)2=r²
P点坐标同时满足

x

2 p

+

y

2 p

=R²
联立可得 y_p=

R2

2r

，
代入数据得y_p=0.025m
（2）如右图，粒子从C点入射，画出其在磁场中运动的轨迹，交与磁场边界D点，并画出其运动轨迹的圆心O，
设弧CD所对圆心为θ，过D点做x轴的平行线交y轴与E点，连接OD，
则OO′=r+y
由直角三角形△O′ED得，O′E=rcosθ，DE=rsinθ
则OE=O′O-O′E=r+y-rcosθ
在直角三角形△OED内，有OE²+DE²=OD²
代入得 （r+y-rcos）²+（rsinθ）²=R²
可求得 cosθ=

(r+y)2+r2-R2

2(r+y)r

，
代入数据得 cosθ=

10y2+4y+0.7

4y+0.8

，
（3）由 cosθ=

(r+y)2+r2-R2

2(r+y)r

，
变式得：cosθ=

r+y

2r

+

r2-R2

2r(r+y)

，
这说明当

r+y

2r

=

r2-R2

2r(r+y)

时，cosθ具有最小值，θ具有最大值．
代入数据得y=0.1

3

-0.2≈-0.027
即入射点在x轴下方做标为（0，-0.027）处
此时cosθ=0.5
即θ=

π

3

由周期公式T=

2πm

qB

得t_m=

θm

qB

=

2

3

π×10^-7s≈2.1×10^-7s．

点评：电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．