Question

7．矩形裸导线框长边的长度为2L，短边的长度为L，在两个短边上分别接有阻值为R₁、R₂的电阻，其余部分电阻均不计，以导线框的一个顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，导线框的位置和框内的磁场方向及分布情况如图所示，磁场和磁感应强度大小B=B₀cos（$\frac{πx}{2L}$），一电阻不计的光滑导体棒AB与短边平行且与长边始终接触良好，起初导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x轴方向的外力F的作用下做速度为v的匀速运动，不计一切摩擦，试求：
（1）导体棒所产生的电动势的表达式；
（2）导体棒AB从x=0运动到x=2L的过程中外力F随时间t变化的规律；
（3）导体棒AB从x=0运动到x=2L的过程中，所产生的电动势的有效值．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动，其坐标为x=vt，由e=BLv求出导体棒产生的感应电动势，
（2）根据闭合电路欧姆定律求出 通过AB棒的感应电流i，由F_安=BiL求安培力，即可由平衡条件求得外力与t关系的表达式；
（3）导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电，由感应电动势的瞬时表达式，求出感应电动势的最大值，再得到有效值．

解答 解：（1）在t时刻AB棒的坐标为：x=vt
感应电动势的瞬时值：e=BLv=B₀Lvcos（$\frac{πx}{2L}$）=B₀Lvcos（$\frac{πvt}{2L}$）．
（2）回路总电阻：R_总=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ 
回路感应电流：i=$\frac{e}{{R}_{总}}$=$\frac{{B}_{0}Lv（{R}_{1}+{R}_{2}）cos（\frac{πx}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$
棒AB匀速运动时有：F=F_安=BiL
解得：F=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v（{R}_{1}+{R}_{2}）co{s}^{2}（\frac{πvt}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$，（0≤t≤$\frac{2L}{v}$）
（3）导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电，则感应电动势的有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₀Lv
答：（1）导体棒所产生的电动势的表达式为e=B₀Lvcos（$\frac{πvt}{2L}$）；
（2）导体棒AB从x=0运动到x=2L的过程中外力F随时间t变化的规律是F=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v（{R}_{1}+{R}_{2}）co{s}^{2}（\frac{πvt}{2L}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$，（0≤t≤$\frac{2L}{v}$）；
（3）导体棒AB从x=0运动到x=2L的过程中，所产生的电动势的有效值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₀Lv．

点评 本题以正弦式电流的产生来考查电磁感应的应用；关键要掌握电磁感应和电路的基本规律，熟练推导出安培力与速度的关系式．