Question

14．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的速度增大到原来3倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G．求该星球的质量M．

Answer 1

分析 运用平抛运动规律表示出抛出点与落地点之间的距离求解星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量．

解答 解：以M和R分别表示星球的质量和半径由万有引力定律得：
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$…（1）
设宇航员站在高度为h的某高处沿水平抛出小球，第一次平抛速度为v，经过时间t落到星球表面，x表示落地点与抛出点间的水平距离，则由平抛运动规律得：
x=vt…（2）
h=$\frac{1}{2}$gt^2…（3）     
根据平面几何知识，抛出点与落地点之间的直线距离L与x、h之间关系为L²=x²+h²…（4）
宇航员第二次抛出速度为3v，则抛出水平位移x′=3vt…（5）
此时落地点与抛出点的直线距离为$\sqrt{3}$L，则
（$\sqrt{3}$L）²=（3x）²+h²…（6）
h=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$L…（7）
所以由以上各式联立解之得，g=$\frac{{\sqrt{3}L}}{t^2}$，M=$\frac{{\sqrt{3}L{R^2}}}{{G{t^2}}}$．
答：该星球的质量为$\frac{\sqrt{3}L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，其中重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．