Question

13．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为R_A和R_B，这两颗行星周围卫星的运行周期的平方（T²）与轨道半径的三次方（r²）的关系如图所示，T₀为卫星环绕行星表面运行的周期，则（　　）

• A． 行星A的质量小于行星B的质量
• B． 行星A的密度大于行星B的密度
• C． 行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
• D． 当两行星的正常轨道半径相同时，卫星的角速度也相同

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出卫星的周期与行星的质量、半径之间的关系，然后进行比较；
结合万有引力提供向心力，分别写出第一宇宙速度的表达式，然后比较它们的大小关系；

解答 解：A、根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
对于环绕行星A表面运行的卫星，有：${T}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{A}^{3}}{G{M}_{A}^{\;}}}$…①
对于环绕行星B表面运行的卫星，有：${T}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{B}^{3}}{G{M}_{B}^{\;}}}$…②
联立①②得：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{M}_{A}^{\;}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{M}_{B}^{\;}}$…③
由图知${R}_{A}^{\;}＜{R}_{B}^{\;}$，所以${M}_{A}^{\;}＜{M}_{B}^{\;}$，故A正确；
B、A行星的质量${M}_{A}^{\;}={ρ}_{A}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{A}^{3}$，B行星的质量为${M}_{B}^{\;}={ρ}_{B}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}$
代入③得：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{ρ}_{A}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{A}^{3}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{ρ}_{B}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}}$
解得：${ρ}_{A}^{\;}={ρ}_{B}^{\;}$，故B错误；
C、行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3}Gρπ}R$∝R
因为${R}_{A}^{\;}＜{R}_{B}^{\;}$，所以${v}_{A}^{\;}＜{v}_{B}^{\;}$，即行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，因为轨道半径相等，A行星的质量小于B行星的质量，所以A行星的卫星的角速度小于B行星的卫星的角速度，故D错误；
故选：AC

点评 本题考查考生从图象获取信息的能力，万有引力提供圆周运动向心力，掌握万有引力和向心力的表达式并能灵活运用是正确解题的关键．