Question

（2013?开封一模）如图所示K与虚线MN之间是加速电场．虚线MN与PQ之间是匀强电场，虚线PQ与荧光屏之间是匀强磁场，且MN、PQ与荧光屏三者互相平行．电场和磁场的方向如图所示．图中A点与O点的连线垂直于荧光屏．一带正电的粒子由静止被加速从A点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在图中的荧光屏上．已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为U=

Ed

2

，式中的d是偏转电场的宽度且为已知量，磁场的磁感应强度B与偏转电场的电场强度E和带电粒子离开加速电场的速度v₀关系符合表达式v₀=

E

B

，如图所示，试求：
（1）画出带电粒子的运动轨迹示意图，
（2）磁场的宽度L为多少？
（3）改变磁场的磁感应强度的大小，则荧光屏是出现的亮线长度是多少？

Answer 1

分析：（1）带电粒子经加速电场加速，进入偏转电场做类平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，带电粒子最终垂直地打在荧光屏上，说明带电粒子在电场中偏转的角度与在磁场中偏转的角度大小相等，方向相反，作出轨迹如图．
（2）用程序法研究：用动能定理求解粒子获得的速度v₀，根据运动的分解求出偏转电场中偏转的角度，由牛顿定律求出磁场中轨迹半径，几何关系求出磁场的宽度．
（3）用极限法分析：当磁感应强度为零时，粒子打在D点．当磁感应强度增加到一定程度，使带电粒子刚好和荧光屏相切时，为带电粒子打到荧光屏上的最高点．由几何知识求出亮线的长度．

解答：解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中作圆周运动，带电粒子最终垂直地打在荧光屏上，说明带电粒子在电场中偏转的角度与在磁场中偏转的角度大小相等，方向相反，其轨迹如图所示．
    （2）带电粒子在加速电场中
     根据动能定理，得qU=

1

2

mv

2 0

     带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，设偏转角为θ
              则tanθ=

vy

v0

，vy=at，a=

qE

m

，t=

d

v0

    代入解得θ=45°则竖直速度与水平速度大小相等，带电粒子离开偏转电场速度为v=

2

v0
    设带电粒子在磁场中偏转的半径为R
              则由qvB=m

v2

R

    得R=

mv

qB

=

m 2 v0

qE v0

=

2 mv 2 0

qE

      又U=

1

2

Ed
   代入解得R=

2

d
  带电粒子在偏转电场中的偏转角与在磁场中的偏转相等，才能垂直打在荧光屏上，由图可知，磁场宽度L=Rsinθ=d                       
（3）当磁感应强度为零时，带电粒子从C点射出时，沿直线打到荧光屏上D点，为带电粒子打到荧光屏上的最低点．
     则OD=Ltan45°=L
     当磁感应强度增加到一定程度，使带电粒子刚好和荧光屏相切时，为带电粒子打到荧光屏上的最高点．
    L=R+Rcos450=(

2 +2

2

)R
   OF=Rsin450=(

2

-1)L 
则亮线长度FD=OF+OD=

2

L=

2

d
答：（1）带电粒子的运动轨迹示意图如图．
    （2）磁场的宽度L为d．
    （3）改变磁场的磁感应强度的大小，荧光屏是出现的亮线长度是

2

d．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在电场做类平抛运动，运用运动的合成与分解方法处理，在磁场中做匀速圆周运动，关键是画轨迹．