Question

7．如图所示是一个半径为R、高为H=4R的薄壁圆柱形玻璃杯，杯底是一个半径为R的半玻璃球，O为杯底中心．现让一束平行光垂直杯底BC射入玻璃杯，玻璃的折射率n₁=$\frac{5}{3}$，求：
①若是空杯，光透过玻璃底后照亮杯壁的高度h₁；
②若装满折射率为n₂=$\frac{4}{3}$的水，光透过玻璃底后照亮杯壁的高度h₂．

Answer 1

分析 ①先根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角，再根据几何知识求解h₁；
②根据折射定律求出折射角，再根据几何知识求解h₂．

解答 解：①如图所示光线从E 点射入杯内时恰好全反射，由折射定律有
  sin C=$\frac{1}{{n}_{1}}$
由几何关系有
  h₁=H-[Rcos C+R （1+sin C）tan C]=H-R$\frac{1+sinC}{cosC}$
代入数据得 h₁=2R
②装满水后由折射定律有 sin C′=$\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$
同理有 h₂=H-R$\frac{1+sinC′}{cosC′}$
代入数据有 h₂=R
答：
①若是空杯，光透过玻璃底后照亮杯壁的高度h₁是2R．
②若装满折射率为n₂=$\frac{4}{3}$的水，光透过玻璃底后照亮杯壁的高度h₂是R．

点评 解决本题的关键作出光路图，结合折射定律，全反射的条件进行求解，本题对数学几何能力要求较高，在平时的学习中需加强训练．