Question

8．如图所示，平面坐标系Oxy中，在y＞0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在-h＜y＜0的区域Ⅰ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在y＜-h的区域Ⅱ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B．A是y轴上的一点，C是x轴上的一点．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以某一初速度沿x轴正方向从A点进入电场区域，继而通过C点以速度方向与x轴夹角为φ=30°进入磁场区域Ⅰ，并以垂直边界y=-h的速度进入磁场区域Ⅱ．粒子重力不计．试求：
（1）粒子经过C点时的速度大小v；
（2）A、C两点与O点间的距离y₀、x₀；
（3）粒子从A点出发，经过多长时间可回到y=y₀处？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，由几何知识知，轨迹对应的圆心角为60°，根据几何关系求得轨迹半径，根据牛顿第二定律列式求速度大小．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合可求得A、C两点与O点间的距离y₀、x₀；
（3）分段求时间，磁场中找出轨迹对应的圆心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求粒子第一次返回y=y₀处前运动的总时间T，根据周期性，粒子返回y=y₀处前运动的总时间为t=nT

解答 解：（1）由题可知，粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的圆心角θ=60°，相应的半径为
${r_1}=\frac{h}{sin60°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$
由$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$，得
$v=\frac{{2\sqrt{3}qBh}}{3m}$
（2）粒子在电场中做类平抛运动，有
x₀=vcos30°•t₀
${y_0}=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t_0}^2$
又$vsin30°=\frac{Eq}{m}•{t_0}$
解得，${t_0}=\frac{{\sqrt{3}Bh}}{3E}$，${x_0}=\frac{{\sqrt{3}{B^2}{h^2}q}}{3mE}$，${y_0}=\frac{{{B^2}{h^2}q}}{6mE}$；
（3）根据运动的对称性可知，第一次返回y=y₀处前在磁场Ⅰ中运动的总时间为${t_1}=\frac{2π}{3}•\frac{m}{qB}$
在磁场Ⅱ中运动的总时间为${t_2}=\frac{π}{2}•\frac{m}{qB}$
故第一次返回y=y₀处前运动的总时间为$T=2{t_0}+{t_1}+{t_2}=\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}$
之后运动呈周期性，故返回y=y₀处前运动的总时间为$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$
答：（1）粒子经过C点时的速度大小为$\frac{2\sqrt{3}qBh}{3m}$；
（2）A、C两点与O点间的距离y₀、x₀分别为$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{h}^{2}q}{3mE}$，$\frac{{B}^{2}{h}^{2}q}{6mE}$；
（3）粒子从A点出发，经过$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$可回到y=y₀处．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．