Question

（25分） 如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图．试求任意时刻两球的坐标．

Answer 1

解法一：

对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知m_A = m，m_B = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离

                  （1）

故A、B到质心C的距离分别为

               （2）

若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB．设弹簧CA的自然长度为l_A0，劲度系数为k_A，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自然长度为l_B0，劲度系数为k_B，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点．若连接A、B的自然长度为l₀，根据题意有

       （3）

由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为

          （4）

       当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA和CB的长度分别为

       （5）

弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为

但f_A 、f_B就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有

由此得

       （6）

相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即；B的坐标．由（1）式，可知此时质心C的坐标为

       （7）

在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力．故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标

       （8）

由于质心作加速运动，质心系是非惯性系．在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用．若在质心系中取一坐标轴，原点与质心C固连，取竖直向下为轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为时，弹簧CB作用于B的弹性力

当时，方向竖直向上．此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上．作用于B的合力

由（3）、（4）式得

       （9）

令

       （10）

有

       （11）

当X_B = 0，作用于B的合力F_B = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标

       （12）

X_B为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在F_B作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率

       （13）

离开平衡位置的位移

       （14）

A_B为振幅，为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置的距离就是简谐振动的振幅A_B，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的l_B，故B离开平衡位置的距离即振幅

由（5）式、（12）式得

              （15）

因t = 0，X_B =A_B，且X_B是正的，故

由此得

             （16）

由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标

            （17）

在地面参考系的坐标

             （18）

得

         （19）

同理，当小球A在质心系中的坐标为时，注意到是负的，这时，弹簧CA的伸长量为

，

当为负时，弹力向下，为正，当为正时，弹力向上，为负，故有

作用于A的合力为

令

有

当X_A=0，作用于A的合力F_B = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标

       （20）

X_A为A离开其平衡位置的位移，故在合力F_A作用下， A将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率

       （21）

离开平衡位置的位置

A_A为振幅，为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A离开质心C的距离为l_A，A的平衡位置离开质心的距离为故此时A离开平衡位置的距离即为振幅A_A，

 

而此时，故

由此得

                                              （22）

在时刻t，A在地面参考系中的坐标

       

解法二：

当球相对于地面参考系的坐标为时，弹簧的伸长量为，所受的合力为

         

其加速度为

                  

其相对于质心的加速度为

    

其中表示球相对于其平衡位置的位移，在相互平动的两个参考系中，相对位移与参考系无关．

    上式表明，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向．也就是说，球相对质心作简谐振动．

     同理可证，

            

                     

其相对于质心的加速度为

                    

其中表示球相对于其平衡位置的位移，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向，即球相对质心也作简谐振动．且有与振动的圆频率相等， 

                           

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解法三： 

在地面参考系中，列A、B的牛顿定律方程

        

2       

x₁、x₂是A、B的坐标，l₀是弹簧的自然长．

    时，有

       

为初始时即细线刚烧断时刻，弹簧的长度，有关系

       

所以

       

由+，

       

令，是一个恒定的加速度，结合初始条件，对应的坐标和运动方程是，

       

再由，

              

这是一个以A为参考系描写B物体运动的动力学方程，且是简谐的，所以直接写出解答，

结合初条件，

             

              

得到

             

             

所以

       

即

               

由，得

                

由+，得