Question

5．如图所示，质量为m的小球用一根细线悬挂在O点，用一个水平力作用在小球上，使细线与竖直方向成30°角时小球静止，求：
（1）水平拉力的大小．
（2）若使小球静止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，则这个力与水平方向成多大的角度时，这个力最小？最小值为多大？
（3）若使小球静止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，当该力为mg时，则这个力与水平方向成多大角度？
（4）若使小球静止，作用于小球的力可以沿不同的方向，当该力为$\frac{3}{5}mg$时，若使细线与竖直方向的夹角最大，则该角度的正弦值为多少？

Answer 1

分析 （1）小球静止时，合力为零，分析小球的受力情况，根据平衡条件求解水平拉力的大小；
（2）运用作图法分析什么条件下F最小，并求出最小值；
（3）根据矢量合成的方法分析即可；
（4）当该力为$\frac{3}{5}mg$时时，结合（2）的分析即可解答．

解答 解：（1）小球静止时，受到重力mg、细线的拉力T和水平拉力F，小球的合力为零，则有
水平方向：F=Tsin30°
竖直方向：Tcos30°=mg
联立得：F=mgtan30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$
（2）由图1分析可知，当F与细线垂直时F最小，即F与水平方向成30°斜向上时，F最小，有：
F_min=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$ 
（3）结合（2）的受力图可知，当F竖直向上时，拉力等于mg；
或根据等腰三角形的特点知，拉力的方向与水平方向成30°斜向下时，如图2，此时：F=mg
（4）当该力为$\frac{3}{5}mg$时，若使细线与竖直方向的夹角最大，则该力的方向与细线的方向垂直，所以该角度的正弦值为：
sinθ_max=$\frac{{\frac{3}{5}mg}}{mg}=\frac{3}{5}$
答：（1）水平拉力的大小是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$．
（2）若使小球静止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，即F与水平方向成30°斜向上时，F最小，最小值为0.5mg；
（3）若使小球静止在原位置，作用于小球的力可以沿不同的方向，当该力为mg时，则这个力F竖直向上，即与水平方向成90°或拉力的方向与水平方向成30°斜向下时；
（4）若使小球静止，作用于小球的力可以沿不同的方向，当该力为$\frac{3}{5}mg$时，若使细线与竖直方向的夹角最大，则该角度的正弦值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题是共点力平衡中极值问题，运用作图法或分析法得到几种不同条件下的极值的条件是关键．