Question

12．如图所示，在竖直平面内固定一光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB，轨道半径为R=0.4m，轨道最高点A与圆心O等高．有一倾角θ=30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨道B点正下方．圆弧轨道和斜面均处于场强E=100N/C、竖直向下的匀强电场中．现将一个质量为m=0.02kg、带电量为q=+2×10^-3C的带点小球从A点静止释放，小球通过B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块与斜面间动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，空气阻力不计，g取10m/s²，小球和物块都可视为质点．求：
（1）小球经过B点时对轨道的压力；
（2）B、D两点间电势差；
（3）物块上滑初速度v₀满足的条件？

Answer 1

分析 （1）小球从A运动到B的过程，运用动能定理可求出小球到达B点的速度，再由牛顿第二定律求解B点轨道对小球的支持力，由牛顿第三定律得到小球经过B点时对轨道的压力N_B；
（2）小球由B点到D点做类平抛运动，根据D点的速度与斜面垂直，由速度分解和速度时间公式可求出从B到D的时间，由牛顿第二定律和位移公式求出下落的高度h，则 U_BD=Eh．
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式得到物块上滑的位移表达式，结合几何关系求解即可

解答 解：（1）设小球到达B点的速度为v_B，由动能定理有：
  $mgR+qER=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$…①
 在B点，由牛顿第二定律得：
$N{′}_{B}-（mg+qE）=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…②
由牛顿第三定律得：N′_B=-N_B…③
联解①②③得：N_B=1.2N，方向竖直向下．…④
（2）设小球由B点到D点的运动时间为t，加速度为a，下落高度为h有：
  $\frac{{v}_{B}}{at}=tanθ$…⑤
  Eq+mg=ma…⑥
  $h=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑦
  U_BD=Eh…⑧
联解①⑤⑥⑦⑧得：U_BD=120V…⑨
（3）作出小球与物块的运动示意如图所示，设C、D间的距离为x，由几何关系有：
$x=\frac{H-h}{sinθ}$…⑩
设物块上滑加速度为a′，由牛顿运动定律有：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma′…⑪
根据题意，要物块与小球相遇，有：$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a′}≥x$…⑫
联解⑩⑪⑫得：${v}_{0}≥\frac{4\sqrt{15}}{5}m/s≈3.10m/s$…⑬
答：
（1）小球经过B点时对轨道的压力N_B为1.2N．
（2）B、D两点间电势差U_BD为120V．
（3）物块上滑初速度v₀满足的条件为v₀≥3.10m/s．

点评 本题是复杂的力电综合题，本题关键分析清楚小球和滑块的运动情况，根据类平抛运动速度分解，由力学规律求解．