Question

绝缘材料制成的圆柱形细管质量为4m、带电荷量为+q、管长为h，管底封闭且水平，由于空间有竖直向上的匀强电场，它刚好能竖直静止．现从其管口无初速释放一个绝缘的、不带电的、质量为m的小球（直径小于管的内径，可以视为质点），不计空气对小球和细管的作用力，在小球和细管的运动或碰撞过程中，不会改变各自的带电情况，已知重力加速度为g，问：
（1）电场强度E多大？
（2）小球第一次与管底碰撞前瞬间的速度多大？
（3）小球与管底的碰撞为弹性碰撞（机械能不变）且碰撞时间可忽略，小球第二次与管底碰前瞬间的速度多大？

Answer 1

分析：（1）带电管刚好在电场中静止，电场力与重力二力平衡，列式可求得电场强度E．
（2）小球在管中自由下落，由运动学公式v=

2gh

求出小球第一次与管底碰撞前瞬间的速度v．
（3）小球与管底发生弹性碰撞，两者组成的系统动量守恒，由动量守恒和机械能守恒列式，求出碰后两者的速度．由于两者质量相等，交换速度，碰后管向下做匀速运动，小球做自由落体运动，由运动学公式分别列式两者的位移，当位移相等时，发生第二次碰撞，即可求出时间．再求出速度．

解答：解：（1）开始时，圆柱形管受力平衡，则有  qE=4mg
∴E=

4mg

q

 （2）小球在管中自由下落，由

v

2 1

=2gh
得，小球第一次与管底碰撞前瞬间的速度为v₁=

2gh

（3）小球与管相碰，且为弹性碰撞，两者组成的系统动量和机械能都守恒，设碰后速度分别为v₁′和v₂′．
∴mV₁=mv₁′+4mv₂′．

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

′2 1

+

1

2

?4m

v

′2 2

解得：v₁′=-

3

5

v1，反向；v₂′=

2

5

v1
设经t时间二者二次相碰，设向下为正：
则：v₂′t=v₁′t+

1

2

gt2
即：

2

5

V1t=-

3

5

V1t+

1

2

gt2
解得：t=

2V1

g

∴碰前瞬间对小球：v₁₀=v₁′+gt=

7

5

v1=

7

5

2gh

答：
（1）电场强度为

4mg

q

．
（2）小球第一次与管底碰撞前瞬间的速度为

2gh

．
（3）小球与管底的碰撞为弹性碰撞（机械能不变）且碰撞时间可忽略，小球第二次与管底碰前瞬间的速度为

7 2gh

5

．

点评：本题关键要抓住弹性碰撞过程中，系统的动量和机械能均守恒，再分析两个物体的运动过程．