Question

14．如图所示，在xOy平面直角坐标系中，直角三角形MNL内存在垂直于xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，三角形的一直角边ML长为6a，落在y轴上，∠NML=30°，其中位线OP在x轴上．电子束以相同的速度v₀从y轴上-3a≤y≤0的区间垂直于y轴和磁场方向射入磁场，已知从y轴上y=-2a的点射入磁场的电子在磁场中的轨迹恰好经过O点．若在直角坐标系xOy的第一象限区域内，加上方向沿y轴正方向、大小为E=Bv₀的匀强电场，在x=3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q．忽略电子间的相互作用，不计电子的重力．试求：
（1）电子的比荷；
（2）电子束从+y轴上射入电场的纵坐标范围；
（3）从磁场中垂直于y轴射入电场的电子打到荧光屏上距Q点的最远距离．

Answer 1

分析 （1）从y轴上y=-2a点射入磁场的电子在磁场中的轨迹恰好经过O点，则电子圆周运动的半径为a，根据牛顿第二定律列方程求比荷；
（2）粒子在磁场中运动圆轨迹必须与直线MN相切时打到荧光屏上距Q点最远，画出运动轨迹，根据几何关系求解；
（3）先判断电子射出电场后是否打到荧光屏上，然后根据电子在电场中做类平抛运动，求出偏转位移，根据偏转角的正切值确定最远距离与偏转位移的关系，再根据数学知识求解极值．

解答 解：（1）由题意可知电子在磁场中的轨迹半径为r=a，
由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
电子的比荷：$\frac{e}{m}=\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）电子能进入电场中，且离O点上方最远，电子在磁场中运动圆轨迹恰好与边MN相切，电子运动轨迹的圆心为O′点，如图所示．
则：O′M=2a，OO′=OM-0′M=a，
即粒子从D点离开磁场进入电场时，离O点上方最远距离为：
OD=y_m=2a，
所以电子束从y轴射入电场的范围为0≤y≤2a；
（3）假设电子没有射出电场就打到荧光屏上，
有 3a=v₀t，y=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}•{t}^{2}$，
解得：y=$\frac{9}{2}$a＞2a，所以，电子应射出电场后打到荧光屏上．
电子在电场中做类平抛运动，设电子在电场的运动时间为t，竖直方向位移为y，水平位移为x，
水平：x=v₀t，竖直：y=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}•{t}^{2}$，
代入数据解得：x=$\sqrt{2ay}$；
设电子最终打在光屏的最远点距Q点为H，电子射出电场时的夹角为θ有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{\frac{eE}{m}×\frac{x}{{v}_{0}}}{{v}_{0}}=\sqrt{\frac{2y}{a}}$，
H=（3a-x）tanθ=$（3\sqrt{a}-\sqrt{2y}）\sqrt{2y}$，
当$3\sqrt{a}-\sqrt{2y}=\sqrt{2y}$时，即y=$\frac{9}{8}a$时，H有最大值，
由于$\frac{9}{8}$a＜2a，所以H_max=$\frac{9}{4}$a；
答：（1）电子的比荷为$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）电子束从+y轴上射入电场的纵坐标范围是0≤y≤2a；
（3）从磁场中垂直于y轴射入电场的电子打到荧光屏上距Q点的最远距离为$\frac{9}{4}$a．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定某些物理量之间的关系；
粒子在电场中的偏转经常用化曲为直的方法，求极值的问题一定要先找出临界的轨迹，注重数学方法在物理中的应用．