Question

14．如图，小球沿光滑的斜轨道下滑至光滑水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使中空圆柱体转筒立刻以某一角速度匀速持续转动起来，已知轨道末端与转筒左侧的距离为L=1.6m，且与转筒侧壁上的小孔甲的高度差为h₁=0.8m，侧壁上另一小孔乙和甲在同一竖直线上，且甲、乙两孔中心相距h₂=1.0m，开始时转筒静止，且甲、乙小孔都正对着轨道方向，现让一小球从斜轨上某处无初速度滑下，正好能进入甲小孔并恰好从乙小孔穿出（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，取g=10m/s²），求
（1）小球从斜轨上释放时的高度H；
（2）转筒的底面半径R；
（3）转筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球从离开圆弧轨道到进入小孔甲的过程中做平抛运动，根据平抛运动的位移时间关系公式求出运动时间和初速度，再对小球在圆弧轨道上的运动运用机械能守恒定律列式求解H；
（2）小球平抛运动的过程，研究竖直方向，求小球从甲孔到乙孔的时间，根据水平位移求出转筒的底面半径R；
（3）计算出平抛运动的时间后，根据角速度的定义式和圆周运动的周期性求解角速度即可．

解答 解：（1）设小球离开轨道进入小孔甲的时间为t₁，则由平抛运动规律得：
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²
得：t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$=0.4s
平抛的初速度满足：L=v₀t₁；
得：v₀=4m/s
小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²；
解得：H=0.8m
（2）竖直分运动：小球从甲孔到乙孔的时间为：
△t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}+{h}_{2}）}{g}}-{t}_{1}$=0.2s
水平分运动：在△t时间刚好位移为直径，即：2R=v₀△t
得圆筒底面半径为：R=0.4m
（3）在小球平抛到达甲孔的时间t₁=0.4s内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进甲孔，即：
ωt₁=2nπ（n=1，2，3…）．
所以有：ω=5nπ  rad/s（n=1，2，3…）
在小球由甲孔到达乙孔的时间△t=0.2s内，圆筒必须恰好转半圈的奇数倍，小球才能钻出乙孔．则有：
ω△t=（2n-1）π（n=1，2，3…）
得：ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
综合分析知，满足既能钻出甲孔又能穿出乙孔，取ω=5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）
答：（1）小球从斜轨上释放时的高度H是0.8m；
（2）转筒的底面半径R是0.4m；
（3）转筒的角速度ω是5（2n-1）π  rad/s（n=1，2，3…）．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀速直线运动，以及知道转筒转动的周期性．