Question

17．已知地球和月球半径分别为R₁、R₂，表面重力加速度分别为g₁、g₂，平均密度分别为ρ₁、ρ₂．地球第一宇宙速度为v₁，月球绕地球运动的周期为T₁、半径为r₁．“嫦娥三号”探测器在近月轨道绕月球做圆周运动的速度为v₂、周期为T₂．下列关系正确的是（　　）

• A． g₁ρ₂R₂=g₂ρ₁R₁
• B． ρ₂R₂²v₁²=ρ₁R₁²v₂²
• C． ρ₁T₁²=ρ₂T₂²
• D． g₁R₁v₁²=g₂R₂v₂²

Answer 1

分析 根据天体表面重力约等于万有引力得线速度、周期和第一宇宙速度表达式，结合GM=gR²，根据密度公式可以分析．

解答 解：A、根据天体表面重力约等于万有引力得：GM=gR²，根据密度公式：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，联立可得：g₁ρ₂R₂=g₂ρ₁R₁，故A正确
B、根据万有引力充当向心力得：V=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，结合公式：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，联立得：ρ₂R₂²v₁²=ρ₁R₁²v₂²，故B正确
C、根据万有引力充当向心力得：T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，结合公式：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，联立得：${{R}_{1}^{3}r}_{2}^{3}$ρ₁T₁²=${R}_{2}^{3}{r}_{1}^{3}$ρ₂T₂²，故C错误
D、第一宇宙速度V=$\sqrt{gR}$，所以g₂R₂v₁²=g₁R₁v₂²，故D错误
故选：AB

点评 天体问题记住两个公式：万有引力充当向心力和天体表面重力约等于万有引力．