Question

【题目】如图所示，有一磁感应强度大小为B的水平匀强磁场，其上下水平边界的间距为H；磁场的正上方有一长方形导线框，其长和宽分别为L、d（d＜H），质量为m，电阻为R．现将线框从其下边缘与磁场上边界间的距离为h处由静止释放，测得线框进入磁场的过程所用的时间为t．线框平面始终与磁场方向垂直，线框上下边始终保持水平，重力加速度为g．求：

（1）线框下边缘刚进入磁场时线框中感应电流的大小和方向；
（2）线框的上边缘刚进磁场时线框的速率v1；
（3）线框下边缘刚进入磁场到下边缘刚离开磁场的全过程中产生的总焦耳热Q．

Answer 1

【答案】
（1）解：线框由静止释放到下边缘刚进入磁场的过程，做自由落体运动，有：v= ，

即线框下边缘刚进入磁场的速率为：v0= ，

线框下边缘切割磁感线产生的感应电动势为：E=BLv0，

感应电流的大小为：I= = ，

根据右手定则判断知，线框中感应电流的方向沿逆时针方向．

答：线框下边缘刚进入磁场时线框中感应电流的大小为 ，方向逆时针；

（2）在线框下边缘刚进入磁场到上边缘刚进入磁场的过程中，

根据微元法，取一小段时间△t，时间内速度的减少量为△v，

由动量定理可得：（mg﹣BIL）△t=m△v，即mg△t﹣BIL△t=m△v

在时间△t内，通过线框某一横截面的电荷量为：△q=I△t

对mg△t﹣BIL△t=m△v两边求和得：mgt﹣BLq=m（v1﹣v0）

根据法拉第电磁感应定律有： =

根据闭合电路欧姆定律有： =

在时间t内，通过线框某一横截面的电荷量为：q=

解得v1=gt+ ﹣

答：线框的上边缘刚进磁场时线框的速率为gt+ ﹣ ；

（3）在线框下边缘刚进入磁场到下边缘刚离开磁场的全过程中，线框进入磁场的过程中才有焦耳热产生，根据能量守恒定律有：

+mgd= +Q，

解得：Q= +mgd﹣ =mg（h+d）﹣ m（gt+ ﹣ ）2．

答：线框下边缘刚进入磁场到下边缘刚离开磁场的全过程中产生的总焦耳热Q为mg（h+d）﹣ m（gt+ ﹣ ）2．

【解析】（1）先根据自由落体运动求出物体的速度，根据E=BLv0即可求出感应电动势，进而求感应电流．根据右手定则判断电流的方向．
（2）线圈进入磁场的过程中，加速度变化，根据动量定理列式，有（mg-BIL）△t=m△v，对此式两边求和，根据电流的定义式，可求得时间t内，通过线框某一横截面的电荷量．结合各式可求；
（3）线圈完全处于磁场中时，穿过闭合回路的磁通量不变 没有感应电流，不产生电热，由能量守恒线圈进入动能和重力势能之和等于穿出磁场时动能和热量之和，可求出Q．

【考点精析】掌握动量定理和电磁感应与电路是解答本题的根本，需要知道动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统.对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力.系统内力的作用不改变整个系统的总动量；动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力.对于变力，动量定理中的力F应当理解为变力在作用时间内的平均值；用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；画等效电路；运用全电路欧姆定律，串并联电路性质，电功率等公式联立求解．