Question

19．如图所示，AO、BO、CO、AD是竖直面内四根固定的光滑细杆，与水平面的夹角依次是60°、45°、30°和90°，每根杆上都套着一个小滑环（可视为质点，图中未画出），四个滑环分别从各细杆顶端无初速释放（运动过程中各环互不影响），用t₁、t₂、t₃、t₄分别表示细杆AO、BO、CO、AD上的滑环到达底端所用的时间，则t₁、t₂、t₃、t₄的大小关系是t₁=t₃＞t₂＞t₄．

Answer 1

分析 研究斜面是任意角时滑环运动到O所用的时间，由牛顿第二定律得出滑环的加速度，由位移公式得到时间与斜面倾角的关系，由数学知识分析时间的关系．

解答 解：设OD=d，任意一斜面的倾角为α，设滑环在斜面上下滑的加速度为a，滑环从斜面的顶点滑到O的时间为t．
由牛顿第二定律得：a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα，滑环从斜面的顶点滑到D的位移为 x=$\frac{d}{cosα}$．
由x=$\frac{1}{2}$at²得，t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2d}{cosα•gsinα}}$=$\sqrt{\frac{4d}{gsin2α}}$
由数学知识得知，sin（2×60°）=sin（2×30°），sin（2×45°）=1最大，则知t₁=t₃＞t₂．
滑环在AD上的滑环到达D点时，由 $\sqrt{3}$d=$\frac{1}{2}g{t}_{AD}^{2}$，得 t_AD=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$
到达D点的速度大小为 v=gt_AD=$\sqrt{2\sqrt{3}gd}$
从D到O的时间 t_DO=$\frac{d}{v}$=$\sqrt{\frac{d}{2\sqrt{3}g}}$
故 t₄=t_AD+t_DO=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$+$\sqrt{\frac{d}{2\sqrt{3}g}}$＜$\sqrt{\frac{4d}{g}}$=t₂
综上有 t₁=t₃＞t₂＞t₄
故答案为：t₁=t₃＞t₂＞t₄．

点评 本题是牛顿第二定律和运动学公式的综合应用，关键要抓住三个过程相同的量表示位移和加速度，从而表示出时间．