Question

5．如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，D点与小孔A的水平距离s=2m，g取10m/s²．（sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$）试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围．

Answer 1

分析 （1）对CD段运用动能定理，求出小球到达最低点的速度，结合牛顿第二定律，通过拉力和重力的合力提供向心力求出绳子的拉力．
（2）首先找出进入圆弧的临界条件，再据动能定理求摩擦因数μ的范围．摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道有两种情况：一种能做完整的圆周运动．另一种在下半个圆周上运动．

解答 解：（1）小球从C到D的过程，由动能定理得：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-0，
解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s，
在D点，由牛顿第二定律得：
F_m-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$，
解得：F_m=10N；
（2）①小球进入圆轨道后，设小球能到达圆轨道最高点的速度为v，
则要不脱离轨道满足：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
考虑小球从D点运动到圆轨道最高点的过程，
由动能定理得：-μmgs-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_D²，
联立以上两式解得：μ≤$\frac{{v}_{D}^{2}-{v}^{2}-4gR}{2gs}$=0.125；
②小球进入圆轨道后，小球上升的最大高度满足：h≤R，小球可沿轨道返回．
小球从D点运动到最高处的过程，由动能定理得
-μmgs-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv_D²，解得：μ≥$\frac{{v}_{D}^{2}-2gR}{2gs}$=0.35；
答：（1）摆线能承受的最大拉力为10N；
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，粗糙水平面摩擦因数μ的范围是：μ≤0.125或μ≥0.35．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，运用动能定理解题，关键确定研究的过程，分析过程中有哪些力做功，结合动能定理列式研究．