Question

如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S₁、S₂，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U₀，周期为T₀．在t=0时刻将一个质量为m电量为-q（q＞0）的粒子由S₁静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t=

T0

2

时刻通过S₂垂直于边界进入右侧磁场区．（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）
（1）求粒子到达S₂时的速度大小v和极板间距d；
（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件．
（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小．

Answer 1

分析：（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，电场力做功等于粒子动能的增加；
（2）使粒子不与极板相撞，则运动的半径大于

L

4

；
（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，则从s₁再次进入电场时的时刻是

5T0

2

，粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，根据匀速运动的规律求得时间，粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；然后根据洛伦兹力提供向心力，即可求得磁感应强度．

解答：解：（1）粒子在匀强电场中电场力做功等于粒子动能的增加，得：
qU0=

1

2

mv2
代入数据，得：v=

2qU m

又：d=

1

2

v(

T0

2

)，
联立以上两式，得：d=

T0

4

2qU0 m

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：qvB=

mv2

r

，
得：r=

mv

qB

使粒子不与极板相撞，则运动的半径r≥

L

4

联立以上两式，得：B≤

4

L

2mU0 q

（3）粒子在t=3T₀时刻再次到达S₂，且速度恰好为零，根据运动的对称性，则从s₁再次进入电场时的时刻是

5T0

2

；
粒子从左向右应是水平匀速穿过无场区，距离为d，时间为：t1=

d

v

=

T0

4

粒子在左右磁场中的时间是相等的，粒子在磁场中运动的总时间：t′=

5T0

2

-

T0

2

-

T0

4

=

7

4

T0
粒子在左右磁场中的时间是相等的且都是半个周期，所以粒子运动的总时间是一个周期，即t′=T；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=

m4π2r

T2

，vT=2πr
联立以上公式得：B=

8πm

7qT0

．
答：（1）粒子到达S₂时的速度

2qU m

和极板间距d=

T0

4

2qU0 m

；
（2）磁感应强度的大小应满足的条件B≤

4

L

2mU0 q

；
（3）粒子在磁场内运动的时间

7

4

T0，磁感应强度的B=

8πm

7qT0

．

点评：该题中粒子在左右磁场中的时间是相等的，在电场中加速和减速的时间也是相等的，是这解题的关键．该题解题的过程复杂，公式较多，容易在解题的过程中出现错误．属于难度大的题目．