Question

如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心．一质量为m、带电荷量为q（q?0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动．已知磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示，其中T₀=

2πm

qB0

．设小球在运动过程中电荷量保持不变，对原磁场的影响可忽略．
（1）在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小v₀；
（2）在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等．试求t=T₀到t=1.5T₀这段时间内：
①细管内涡旋电场的场强大小E；
②电场力对小球做的功W．

Answer 1

分析：（1）在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，说明洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）①根据法拉第电磁感应定律求解出感应电动势，再进一步计算电场强度；
②先根据牛顿第二定律求解加速度，计算出路程，再求解电场力的功．

解答：解：（1）在t=0到t=T₀这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，说明洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
qv0B0=m

v 2 0

r

解得
v₀=

qB0r

m

 （2）①根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：U=

S△B

△t

=πr2?

B0

1 2 T0

=

2πr2B0

T0

  
电势差与电场强度的关系，有：U=E?2πr   
由上面两式解得
E=

U

2πr

=

r B0

T0

其中：T0=

2πm

qB0

故：E=

qr0 B 2 0

2πm

②电场力为：F=Eq=

r B0q

T0

；
根据牛顿第二定律，有
F=ma
解得
a=

r B0q

mT0

物体的末速度为：v=v0+at=

qB0r

m

+

r B0q

mT0

?

T0

2

=

3qB0r

2m

根据动能定理，电场力做的功为：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

5q2 B 2 0 r2

8m

；
答：（1）在t=0到t=T₀这段时间内，小球的速度大小为

qB0r

m

；
（2）在t=T₀到t=1.5T₀这段时间内：
①细管内涡旋电场的场强大小E为

qr0 B 2 0

2πm

；
②电场力对小球做的功W为

5q2 B 2 0 r2

8m

．

点评：本题是有关感应加速器的问题，感生电场的电场力做正功，电场力是恒定大小的力，电荷速率随着时间均匀增加，结合动能定理、电势差与电场强度的关系公式、牛顿第二定律列式求解．