Question

13．在一条平直公路上，汽车甲和乙长度均为L=15m，汽车甲在前，正以v₁=20m/s的速度做匀速直线运动，汽车乙在后，以加速度a=2m/s²，沿相同方向从静止开始做匀加速直线运动．此时甲乙最近距离（即乙车车头与甲车车尾距离）x₀=75m．若乙车达到最大速度v₂=30m/s后即做匀速直线运动，两车平行不相撞．从乙车加速运动开始计时，求：
（1）乙车车头追上甲车车尾的时间
（2）两车交会错车的时间．

Answer 1

分析 （1）由题意知，乙车车头追上甲车车尾时乙车的位移比甲车的位移大75m，根据位移时间关系求得所需时间；
（2）由（1）问知，从乙车车头到甲车车尾开始到乙车车尾到甲车车头的时间即为两车交会错车的时间．

解答 解：（1）因为乙车加速到最大速度的过程中的平均速度为：$\overline{v}=\frac{0+{v}_{2}}{2}=\frac{0+30}{2}m/s=15m/s＜{v}_{1}$，所以乙车在加速阶段车头不会追上甲车车尾．
由题意知，令乙车车头追上甲车车尾的时间为t，则甲车的位移x_甲=v₁t
乙车加速至最大速度的时间为：$t′=\frac{{v}_{2}}{a}=\frac{30}{2}s=15s$
则乙车的位移为：${x}_{乙}=\frac{1}{2}at{′}^{2}+{v}_{2}（t-t′）$
由位移关系可得：x_乙-x_甲=x₀
代入数据可得：$\frac{1}{2}×2×1{5}^{2}+30（t-15）-20t=75$
解得：t=30s
（2）由（1）分析知，当乙车的位移比甲车位移大2L+x₀是乙车将超过甲车，此时所用时间为t″则根据位移关系有：
x_乙-x_甲=x₀+2L
代入数据可得：$\frac{1}{2}×2×1{5}^{2}+30（t″-15）-20t″=7$5+2×15
可解得：t″=33s
故两车交会错车时间为：△t=t″-t=-s=3s
答：（1）乙车车头追上甲车车尾的时间为30s；
（2）两车交会错车的时间为3s．

点评 解决本题的关键是抓住乙车车头追上甲车车尾时的两车位移关系，注意判定乙车是在加速阶段还是匀速阶段追上甲车是关键．