Question

17．质量为M₁、半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆槽，与一个质量为M₂的光滑弧形槽，相对地放在光滑水平面上，连接处与水平面相切．一个质量为m的物体从M₁顶端正上方高为h₀处自由落下，先沿M₁槽下滑，后又滑到M₂顶端时恰好与M₂相对静止．
求：（1）物体m离开M₁时的速率；
（2）弧形槽M₂的高度h．

Answer 1

分析 （1）物体m与M₁作用的过程中，系统水平方向动量守恒，整个过程中，系统机械能守恒，据此列式，联立方程求解；
（2）m滑上M₂的过程中，系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒，据此列式，联立方程求解．

解答 解：（1）物体m与M₁作用的过程中，系统水平方向动量守恒，
根据动量守恒定律得：mv₁+M₁v₂=0
整个过程中，系统机械能守恒，则有：
$mg（{h}_{0}+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{M}_{1}{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2{M}_{1}g（{h}_{0}+R）}{{M}_{1}+m}}$
（2）m滑上M₂的过程中，系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒，则有：
mv₁+M₂v₂=（m+M₂）v，
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（m+{M}_{2}）{v}^{2}+mgh$，
联立解得：h=$\frac{{M}_{1}{M}_{2}（{h}_{0}+R）}{（m+{M}_{1}）（m+{M}_{2}）}$
答：（1）物体m离开M₁时的速率为$\sqrt{\frac{2{M}_{1}g（{h}_{0}+R）}{{M}_{1}+m}}$；
（2）弧形槽M₂的高度h为$\frac{{M}_{1}{M}_{2}（{h}_{0}+R）}{（m+{M}_{1}）（m+{M}_{2}）}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及机械能守恒定律的直接应用，注意系统在水平方向动量守恒，最后又滑到M₂顶端时恰好与M₂相对静止，说明了；两者水平方向速度相同．