Question

20．如图所示存在范围足够大的磁场区，虚线OO′为磁场边界，左侧为竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B₁，右侧为竖直向上的磁感应强度为B2的匀强磁场区，B₁=B₂=B．有一质量为m且足够长的U形金属框架MNPQ平放在光滑的水平面上，框架跨过两磁场区，磁场边界OO′与框架的两平行导轨MN、PQ垂直，两导轨相距L，一质量也为m的金属棒垂直放置在右侧磁场区光滑的水平导轨上，并用一不可伸长的绳子拉住，绳子能承受的最大拉力是F₀，超过F₀绳子会自动断裂，已知棒的电阻是R，导轨电阻不计，t=0时刻对U形金属框架施加水平向左的拉力F让其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动．
（1）求在绳未断前U形金属框架做匀加速运动t时刻水平拉力F的大小；绳子断开后瞬间棒的加速度．
（2）若在绳子断开的时刻立即撤去拉力F，框架和导体棒将怎样运动，求出它们的最终状态的速度．
（3）在（2）的情景下，求出撤去拉力F后棒上产生的电热和通过导体棒的电量．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和牛顿第二定律求解．
（2）以后框架减速，棒向右加速，当两者速度大小相等时回路磁通量不再变化，一起匀速运动．由于框架和棒都是受安培力作用，且质量相等，所以任意时刻加速度大小相等．
（3）去拉力F后系统动能减少等于回路消耗电能，根据能量守恒定律求解．

解答 解：（1）t时刻，对框架有　
速度   v=at
感应电动势 E=BLv=BLat
安培力　F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
根据牛顿第二定律得
  F-F_安=ma
得 F=F_安+ma=ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
绳子断开时刻绳子拉力　F₀=F_安
棒的加速度  a=$\frac{{F}_{安}}{m}$=$\frac{{F}_{0}}{m}$
（2）绳子断裂时刻F₀=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
框架速度 v₀=at=$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
以后框架减速，棒向右加速，当两者速度大小相等时回路磁通量不再变化，一起匀速运动．由于框架和棒都是受安培力作用，且质量相等，所以任意时刻加速度大小相等，相等时间内速度变化的大小也相等，最终速度都是v．
  v₀-v=v-0，得 v=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
框架向左匀速，棒向右匀速．
（3）撤去拉力F后系统动能减少等于回路消耗电能，即棒上产生电热
  Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-2×\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{m{F}_{0}^{2}{R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
对棒　F_安=BIL=ma
　a=$\frac{BIL}{m}$
△t时间内速度变化△v=a△t=$\frac{BIL}{m}$△t=$\frac{BL}{m}$△q
速度由零增加到v过程
  v=$\sum_{\;}^{\;}$△v=$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{BL}{m}$△q=$\frac{BL}{m}$q=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
解得  q=$\frac{m{F}_{0}R}{2{B}^{3}{L}^{3}}$
答：
（1）在绳未断前U形金属框架做匀加速运动t时刻水平拉力F的大小是ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$；绳子断开后瞬间棒的加速度是$\frac{{F}_{0}}{m}$．
（2）若在绳子断开的时刻立即撤去拉力F，框架和导体棒将怎样运动，它们的最终状态的速度都是$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$，框架向左匀速，棒向右匀速．
（3）在（2）的情景下，撤去拉力F后棒上产生的电热是$\frac{m{F}_{0}^{2}{R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$，通过导体棒的电量是$\frac{m{F}_{0}R}{2{B}^{3}{L}^{3}}$．

点评 本题考查了法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等多个知识点，要注意的是该题中框架NP和金属棒所在的磁场方向相反，从而所受安培力方向相同．