Question

8．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道 AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径 R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h=1.6m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，r=10m/s²．求：
（1）物体第一次通过C点的速度大小；
（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长：
（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

分析 （1）物体从E点运动到C点的过程机械能守恒，据机械能守恒定律求物体第一次通过C点的速度大小；
（2）要使物体不飞出，则到达A点时速度恰为零，则由动能定理可求得AB的长度；
（3）由于摩擦力小于重力的分力，则物体不会停在斜面上，故最后物体将稳定在C为中心的圆形轨道上做往返运动，由功能关系可求得热量Q

解答 解：（1）从E→C，由机械能守恒得
   mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
则 v_C=$\sqrt{2g（h+R）}$=$\sqrt{2×10×（1.6+1）}$=2$\sqrt{13}$m/s
（2）从E→A过程，由动能定理得：
      mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]-μmgcos37°L_AB=0                  
解得：
斜面长度至少为：L_AB=2.4m       
（3）因为mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物体不会停在斜面上．物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动．
从E点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量，由能量守恒得：
 Q=△E_P                         
又△E_P=mg（h+Rcos37°）    
解得 Q=4.8J   
所以在运动过程中产生热量为4.8J．
答：
（1）物体第一次通过C点的速度大小为2$\sqrt{13}$m/s；
（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少为2.4m；
（3）若斜面已经满足（1）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小为4.8J．

点评 在考查力学问题时，常常将动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律等综合在一起进行考查，并且常常综合平抛、圆周运动及匀变速直线运动等运动的形式