Question

2．如图所示，水平地面上有一辆小车，车上固定一个竖直光滑绝缘管，管的底部有一质量m₁=0.2g、电荷量q=8×10^-5C的带正电小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B₁=15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B₂=5T的匀强磁场，现让小车始终保持v_x=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过磁场的边界PQ为计时的起点，测得小球在管内运动的这段时间为t=1s，g取10/s²，不计空气阻力．
（1）求小球进入磁场B₁时的加速度a的大小．
（2）求小球离开管口时的速度v的大小．
（3）若小球离开管口后，在运动中的最高点，与静止在绝缘支架的微小光滑水平台上的、质量为m₂=0.2g、不带电的小球（图中未画出）碰撞后成为一个整体，且碰撞导致该整体不带电．求该整体穿过MN平面的位置到小球刚离开管口时的位置之间的距离s的大小．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力与重力共同提供合力，根据牛顿第二定律，即可求解；
（2）根据速度的分解，结合矢量法则，即可求解；
（3）因电场力与重力相平衡，则洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律、运动学公式，与几何关系，及动量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）小球在管中参与两个方向的运动，即水平方向，
以v_x向右匀速运动，竖直方向，因水平速度而受到竖直向上的洛伦兹力，向上匀加速运动．
小球进入磁场B₁时的加速度为a，由牛顿第二定律得：B₁qv_x-m₁g=m₁a，解得：a=2m/s²；
（2）小球在t=1s时，竖直分速度，v_y=at=2m/s；而水平分速度v_x=2m/s；
则小球离开管口的速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$m/s；
（3）小球离开管子后，进入MN上方的复合场中，因Eq₁=2×10^-3N=m₁g；
所以小球在洛伦兹力的作用下，做匀速圆周运动，设v与MN成θ角，
则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=1，解得：θ=45°；
其运动的轨迹如图所示：

由牛顿第二定律得：
B₂qv=m₁$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\sqrt{2}$m，
当小球运动到最高点时，速度水平，与小球2碰撞，
水平方向动量守恒，且合成的整体不带电，此后做平抛运动，设共同速度为v₁；
以向右为正方向，由动量守恒定律得：m₁v=（m₁+m₂）v₁，解得：v₁=$\sqrt{2}$m/s，
设最高点距MN的距离为h，则有：h=r-rsin45°=（$\sqrt{2}$-1）m；
设平抛运动的时间为t₁，则有：h=$\frac{1}{2}$gt₁²，解得：t₁=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{5}}$，
所求距离s=rcos45°+v₁t₁；
解得：s=（1+$\sqrt{\frac{2（\sqrt{2}-1）}{5}}$）m≈1.4m．
答：（1）小球进入磁场B₁时的加速度a的大小2m/s²．
（2）小球离开管口时的速度v的大小2$\sqrt{2}$m/s．
（3）该整体穿过MN平面的位置到小球刚离开管口时的位置之间的距离s的大小1.4m．

点评 考查洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，理解牛顿第二定律的应用，掌握矢量的分解法则，注意几何关系的正确建立，掌握动量守恒定律，注意其方向性．