Question

4．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求：
（1）该星球表面的重力加速度g
（2）该星球的质量M．

Answer 1

分析 （1）运用平抛运动规律表示出抛出点与落地点之间的距离求解星球表面重力加速度．
（2）忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量．

解答 解：（1）设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x²+h²=L²…①
由平抛运动规律得知，当初速增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得${（2x）^2}+{h^2}={（\sqrt{3}L）^2}$…②
由①、②解得：$h=\frac{L}{{\sqrt{3}}}$
设该星球上的重力加速度为g，根据竖直方向上的自由落体规律可知：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：$g=\frac{{2\sqrt{3}L}}{{3{t^2}}}$；
（2）由万有引力定律提供重力可得：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{{2\sqrt{3}L{R^2}}}{{3G{t^2}}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度g为$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$；
（2）该星球的质量M为$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量，同时注意明确万有引力与重力之间的关系．