Question

如图所示，有一轴线水平且垂直纸面的固定绝缘弹性圆筒，圆筒壁光滑，筒内有沿轴线向里的匀强磁场B，O是筒的圆心，圆筒的内半径r=0.40m．在圆筒底部有一小孔a（只能容一个粒子通过）．圆筒下方一个带正电的粒子经电场加速后（加速电场未画出），以v=2×10⁴m/s的速度从a孔垂直磁场B并正对着圆心O进入筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒．已知该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子的重力和空气阻力，粒子的荷质比q/m=5×10⁷（C/kg），求磁感应强度B多大（结果允许含有三角函数式）？

Answer 1

分析：带电粒子进入磁场中作匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．由题，带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，粒子与圆筒壁4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，根据对称性，由几何知识求出轨迹圆弧对应的圆心角，即可求出轨迹半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度B．

解答：解：带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，qvB=m

v2

R

…（1）
得：B=

mv

qR

…（2）
由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得：

r

R

=tan

θ

2

解得，R=

r

tan θ 2

…（3）
有两种情形符合题意（如图所示）：
（1）情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ=π-

2π

5

=

3π

5

联立（2）（3）并代入θ值得：B=

tan 3π 10

r

?

mv

q

…（4）
将数据代入（4）式得：B=tan

3π

10

×10^-3T…（5）
（2）情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ=π-

4π

5

 联立（2）（3）并代入θ值及数据得：
B=

tan π 10

r

?

mv

q

=tan

π

10

×10-3T
答：磁感应强度B是tan

3π

10

×10^-3T或tan

π

10

×10-3T．

点评：本题的解题关键是抓住对称性，由几何知识得到粒子的轨迹半径与圆筒半径的关系，画出粒子运动的轨迹是分析的基础．