Question

（2012?闵行区二模）如图1所示，A、B、C、D为固定于竖直平面内的闭合绝缘轨道，AB段、CD段均为半径R=1.6m的半圆，BC、AD段水平，AD=BC=8m．B、C之间的区域存在水平向右的有界匀强电场，场强E=5×10⁵V/m．质量为m=4×10^-3kg、带电量q=+1×10^-8C的小环套在轨道上．小环与轨道AD段的动摩擦因数为μ=

1

8

，与轨道其余部分的摩擦忽略不计．现使小环在D点获得沿轨道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿轨道AD段运动过程中始终受到方向竖直向上、大小随速度变化的力F（变化关系如图2）作用，小环第一次到A点时对半圆轨道刚好无压力．不计小环大小，g取10m/s²．求：
（1）小环运动第一次到A时的速度多大？
（2）小环第一次回到D点时速度多大？
（3）小环经过若干次循环运动达到稳定运动状态，此时到达D点时速度应不小于多少？

Answer 1

分析：（1）小环第一次到A点时对半圆轨道刚好无压力．知重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出A点的速度．
（2）对A到D运用动能定理，求出小环第一次回到D点时速度．
（3）稳定循环时，每一个周期中损耗的能量应等于补充的能量，结合图象，根据动能定理求出D点速度的最小值．

解答：解：（1）由题意及向心力公式得：mg=m

vA2

R

                    
vA=

gR

=

10×1.6

m/s=4m/s                  
（2）小物块从A点到第一次回到D的过程，由动能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                 
vD=

vA2+ 2qEL m

=6m/s．
（3）v_A=4m/s=v₀，小环第一次从D到A做匀速运动
F=kv=mg
k=

mg

v

=

4×10-3×10

4

Ns/m=0.01Ns/m．
所以F_m=kv_m=2mg=0.08N，
则可知环与杆的摩擦力f≤μ|F_m-mg|=μmg=qE，
稳定循环时，每一个周期中损耗的能量应等于补充的能量          
W_损=W_最大≤f_ms=μ（F_m-mg）s=0.04J   
而W补=W电=qEs=1×10-8×5×105×8m=0.04J．
所以稳定循环运动时小环在AD段运动时速度一定要大于等于8m/s
即到达A点的速度不小于8m/s                                 
稳定循环运动时小环从A到D的过程，由动能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                  
vD=

vA2+ 2qEL m

=2

21

m/s  
小环经过若干次循环运动达到稳定运动状态，此时到达D点时速度应不小于2

21

m/s
答：（1）小环运动第一次到A时的速度为4m/s．
（2）小环第一次回到D点时速度为6m/s．
（3）小环经过若干次循环运动达到稳定运动状态，此时到达D点时速度应不小于2

21

m/s．

点评：本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律等知识，综合性强，对学生能力要求较高，涉及了不同的运动过程，关键是理清小环的运动，选择合适的研究过程进行分析求解．