Question

15．如图，光滑的平行金属导轨ac、bd之间用阻值均为R的电阻丝ab和cd相连，导轨平面与水平方向成θ=30°角，abdc平面内有垂直平面的磁感强度为B的匀强磁场，现让一质量m，电阻为$\frac{R}{2}$的金属棒从顶端由静止释放，（金属棒与导轨垂直）．并已知金属捧在到达底端以前已经作匀速运动，金属棒的长度和导轨之间间距相同，均为L，导轨长度为2L，金属棒在导轨上运动的整个过中，求：

（1）通过金属棒的电量．
（2）金属棒上产生的焦耳热及电路最大的热功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由q=It求出电荷量；
（2）根据功能关系即可求出产生的焦耳热，电路中的最大热功率等于减小的机械能的功率，由此即可求出．

解答 解：（1）导体棒在向下运动的过程中产生感应电动势相当于电源，与电阻ab、cd组成的等效电路如图：

则电路的外电阻：${R}_{外}=\frac{R}{2}$
设金属棒从开始运动到到达cd的时间为t，则平均电动势：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{BL•2L}{t}$
通过金属棒的电量：q=$\overline{I}t=\frac{\overline{E}}{{R}_{总}}•t$
其中：${R}_{总}=\frac{R}{2}+{R}_{外}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R$
联立得：q=$\frac{2B{L}^{2}}{R}$
（2）设金属棒的最大速度为v，则最大电动势：E=BLv
电路中的电流：I=$\frac{E}{{R}_{总}}=\frac{BLv}{R}$
此时金属棒受到的安培力与重力沿斜面向下的分量大小相等方向相反，则：BIL=mgsinθ
联立得：v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
金属棒到达cd时，由功能关系得：
${Q}_{热}=mg•2Lsin30°-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立得：Q_热=$mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
由于金属棒的电阻值与外电路的电阻值相等，所以金属棒上此时的焦耳热与外电路上产生的焦耳热相等，则：Q=$\frac{{Q}_{总}}{2}$=$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$
当达到稳定后，电路中消耗的热功率等于金属棒减小的机械能的功率，则：P_m=mgsinθ•v
联立得：${P}_{m}=\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）通过金属棒的电量是$\frac{2B{L}^{2}}{R}$．
（2）金属棒上产生的焦耳热是$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$，电路最大的热功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 应明确：①遇到电磁感应问题，首先找出电源，画出感应电动势方向，写出感应电动势大小，然后再求解；②遇到倾斜导轨问题，应画出侧视图，再进行受力分析，从而列出平衡方程或牛顿第二定律表达式；③涉及到电热问题，应根据能量守恒定律求解．