Question

17．如图所示，BCPC′D是由半径为R的圆轨道与半径为2R的BCD圆弧轨道相切于C（C′）点构成的竖直螺旋轨道，C、C′间距离可以忽略．与水平面夹角都是37°的倾斜轨道AB、ED分别与BC、C’D圆弧相切于B、D点，将一轻质弹簧的一端固定在AB轨道的固定板上，固定板中央留有小孔，平行于轨道AB的细线穿过固定板的小孔和弹簧跨过定滑轮将小球和大球连接，小球与弹簧接触但不相连，小球质量为m，大球质量为$\frac{6}{5}$m，初始时两球静止，若将小球与细线突然断开（无限长DE轨道与小球间摩擦系数为μ=0.75，其余轨道摩擦不计，重力加速度为g）．
（1）求细线刚断时，小球的加速度大小；
（2）求小球恰好能完成竖直圆周运动的情况下，小球在经过C点时，在C点左右两边对轨道的压力之差；
（3）求小球沿DE轨道上滑到最高点时距C的竖直高度．

Answer 1

分析 （1）细线刚断时，小球的加速度大小根据牛顿第二定律求解；
（2）小球在经过C点时，在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点，根据重力和轨道的支持力的合力提供向心力，列式得到压力改变量与速度的关系式；小球恰好能完成竖直圆周运动时，在最高点由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得最高点小球的速度．小球从最低点到最高点的过程中，机械能守恒，列出方程，联立即可求解．
（3）小球沿DE轨道上滑过程，运用动能定理求解．

解答 解：（1）线未断时，弹簧对小球m的弹力大小为：F_N=$\frac{6}{5}$mg-mgsin37°
细线刚断时，小球的加速度为：a=$\frac{{F}_{N}+mgsin37°}{m}$
解得：a=$\frac{6}{5}$g
（2）小球在经过C点时，在C点左右两边相当于分别在两个圆周上过最低点，在右边：轨道对小球的支持力为：
F_N1=F_n1+mg
得：F_N1=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$+mg
在左边：轨道对小球的支持力为：F_N2=F_n2+mg
得：F_N2=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$+mg
则小球对轨道的压力之差为：△F=F₂-F₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$-m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
又 R₁=2R，R₂=R，
解得：△F=$\frac{m{v}^{2}}{2R}$
又小球从C点到P点过程中，机械能守恒，则得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
在最高点P时，由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
联立解得：v=$\sqrt{5gR}$，△F=$\frac{5}{2}$mg
（3）小球沿DE轨道上滑过程，运用动能定理得：
-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=2.5R
答：（1）细线刚断时，小球的加速度大小是$\frac{6}{5}$g；
（2）小球恰好能完成竖直圆周运动的情况下，小球在经过C点时，在C点左右两边对轨道的压力之差是$\frac{5}{2}$mg；
（3）小球沿DE轨道上滑到最高点时距C的竖直高度是2.5R．

点评 本题是复杂的力学问题，对于圆周运动，分析向心力的来源是关键，对于小球运动过程之中，要抓住机械能守恒，要具有解决综合问题的能力，需要加强这方面的练习．