Question

2．如图（a）所示，水平放置的平行金属板AB间的距离d=0.1m，板长L=0.3m，在金属板的左端竖直放置一带有小孔的挡板，小孔恰好位于AB板的正中间，距金属板右端x=0.5m处竖直放置一足够大的荧光屏，现在AB板间加如图（b）所示的方波形电压，已知U₀=1.0×10²V，在挡板的左侧，有大量带正电的相同粒子以平行于金属板方向的速度持续射向挡板，粒子的质量m=1.0×10^-7kg，电荷量q=1.0×10^-2C，速度大小均为v₀=1.0×10⁴m/s，带电粒子的重力不计，则：

（1）求粒子在电场中的运动时间；
（2）求在t=0时刻进入的粒子飞出电场时的侧移量；
（3）求各个时刻进入的粒子，离开电场时的速度的大小和方向；
（4）若撤去挡板，求荧光屏上出现的光带长度．

Answer 1

分析 粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电子的运动时间，求出粒子在电场中的偏移量；
粒子在电场中做类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，应用运动的合成与分解，牛顿第二定律与运动学公式可以求出粒子的速度；
求出粒子的最大与最小偏移量，然后求出光带的长度．

解答 解：（1）粒子在水平方向做匀速直线运动，
L=v₀t，粒子在电场中的运动时间：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=3×10^-5s；
（2）0时刻进入的粒子竖直方向上先作匀加速直线运动，
用时t₁=2×10^-5s，再作匀减速直线运动，用时t₂=1×10^-5s，
加速度大小相等，为：a=$\frac{e{U}_{0}}{md}$=1×10⁸m/s²，
侧移量：d₁=$\frac{1}{2}$a（$\frac{2}{3}$T）²+$\frac{2}{3}$aT•$\frac{1}{3}$T-$\frac{1}{2}$a（$\frac{1}{3}$T）²=3.5×10^-2m，
（3）任意时刻进入的粒子水平方向都是匀速直线运动，
运动时间3×10^-5s不变，该时间刚好等于电场变化的周期，
所以任何时刻进入的粒子离开电场时在电场方向的速度均相同，
v_y=at₁-at₂=10⁸×（2×10^-5-1×10^-5）m/s=10³m/s （1分）
根据速度合成离开电场时的速度：$v=\sqrt{{v_y}^2+{v_0}^2}=1000\sqrt{101}m/s$，
速度与竖直方向夹角θ，则有：tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=10，与竖直方向夹角：θ=arctan10；
（4）挡板去后，所以粒子离开电场的速度都相同，如前一问所得．示意图如下图所示：

t=0时刻进入的粒子，正向偏转位移最大，且运动过程没有速度反向
y=$\frac{1}{2}$a×（2×10^-5s）²+a×2×10^-5s×1×10^-5s-$\frac{1}{2}$a×（1×10^-5s）²=0.035m，
若粒子进入的位置合适，粒子可以从极板的上（或下）边沿离开电场．
t=2×10^-5s时刻进入的粒子反向偏转过程中位移最大是速度减小到0的时候，
若粒子位置合适，粒子此时刚好到达下极板，随后开始加速，时间为t=1×10^-5s，
此粒子下面的粒子将打在下极板上而不能离开电场．
此粒子正向偏移为$y'=\frac{1}{2}a{t^2}=0.005m$；
根据离开粒子速度大小方向相同，判断打在荧光屏上面的光带长度：a=d-y′=0.095m；
答：（1）粒子在电场中的运动时间为3×10^-5s；
（2）在t=0时刻进入的粒子飞出电场时的侧移量为3.5×10^-2m；
（3）各个时刻进入的粒子，离开电场时的速度的大小为1000$\sqrt{101}$m/s，方向：与竖直方向夹角为：arctan10；
（4）若撤去挡板，荧光屏上出现的光带长度为0.095m．

点评 解决在偏转场中问题，通常由类平抛运动规律求解，要能熟练运用运动的合成与分解的方法研究，分析时要充分运用匀加速运动位移的比例关系和运动的对称性，来求解竖直分位移．