Question

如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v₀=4 m/s，g取10m/s²。

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。

（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。

（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

Answer 1

解析：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v₁。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则

                                ①

                                         ②

      设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则

                                      ③

      由②③式，得   F=2N                          ④

      由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。

    （2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v₂，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有

                                       ⑤

       在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则

                        ⑥

       由⑤⑥式，得   v₂=2m/s                        ⑦

     （3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s₁，滑块向左移动的距离为s₂，任意时刻小球的水平速度大小为v₃，滑块的速度大小为V^/。由系统水平方向的动量守恒，得

                                       ⑦

          将⑧式两边同乘以，得

                                   ⑨

          因⑨式对任意时刻附近的微小间隔都成立，累积相加后，有

                                        

          又                              

          由式得