Question

3．如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E₁的场强方向竖直向下，PT下方的电场E₀的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入匀强电场E₀中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E₁后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为$\frac{L}{2}$．不计粒子的重力及它们间的相互作用．试求：
（1）电场强度E₀与E₁；
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离有什么规律？
（3）有一边长为a、由光滑绝缘壁围成的正方形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出（粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失），并返回Q点，在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒
子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；
（2）粒子进入电场做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．
（3）粒子进入磁场时做圆周运动，由题意可知其运动的临界半径值，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．

解答 解：（1）设粒子经PT直线上的点R由E₀电场进入E₁电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t₁与t₂，到达R时竖直速度为v_y，则：
由s=$\frac{1}{2}$at² v=at  
由牛顿第二定律得：F=qE=ma，
解得：L=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{E}_{0}}{m}$×t₁²…①
而 $\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₂²…②
速度关系：v_y=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₂…③
v₀（t₁+t₂）=2L…④
上述四式联立解得：
E₁=2E₀，
E₀=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$，
E₁=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）由E₁=2E₀及③式可得：t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做匀速运动，故P、R两点间的距离是R、T两点间距离的两倍．即粒子在E₀电场做类平抛运动在PT方向的位移是在E₁电场中的两倍．
设PQ间到P点距离为△y的F处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，若粒子第一次达PT直线用时△t，水平位移为△x，则△x=v₀△t
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（△t）²
粒子在电场E₁中可能做类平抛运动后，垂直CD边射出电场，也可能做类斜抛运动后返回E₀电场，在E₀电场中做类平抛运动垂直CD水平射出，或在E₀电场中做类斜抛运动再返回E₁电场，若粒子从E₁电场垂直CD射出电场，则有：
（2n+1）△x+$\frac{△x}{2}$=2L （n=0、1、2、3、…）
解之得：
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$[$\frac{4L}{3（2n+1）{v}_{0}}$]²=$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$ （n=0、1、2、3、…）
若粒子从E₀电场垂直CD射出电场，则有：
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{2L}{3k{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{4{k}^{2}}$（k=1、2、3、…）
即PF间的距离为：$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$与$\frac{L}{4{k}^{2}}$ 其中（n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…）
或 2n$\frac{3△x}{2}$=2L （n=1、2、3、…）
解之得：△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
则PF间距为$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
（3）欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图甲、乙所示的两种情况
甲S对图甲所示的情形，粒子运动的半径为R₁，则：
R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$，n=0、1、2、…
又qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：B₁=$\frac{2（2n+1）m{v}_{0}}{qa}$，n=0、1、2、3…
对图乙所示的情形，粒子运动的半径为R₂，则：
R₂=$\frac{a}{4k}$，k=1、2、…
又qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，则有：B₂=$\frac{4km{v}_{0}}{qa}$，k=1、2、3…
综合B₁、B₂得：B=$\frac{2nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…
或R=$\frac{a}{2N}$，N=1、2、…
又qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：B₂=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…
答：（1）（1）电场强度E₀与E₁分别为：$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$、$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离为$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
（3）粒子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足条件B₂=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…．

点评 带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径．