Question

12．一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O．筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷．N板带等量负电荷．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中．粒子与圈筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：
（1）M、N间电场强度E的大小；
（2）圆筒的半径R：
（3）保持M、N间电场强度E不变，仅将MN板间距离缩小为$\frac{d}{3}$，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n．

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强电场中在加速运动，电场力做功等于粒子动能的增加；
（2）使用洛伦兹力提供向心力．求出粒子的运动半径，再根据题意，正确画出粒子运动的轨迹，根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系，从而求出磁场的半径；
（3）使用动能定理求出粒子的速度，再求出运动的半径，最后判定与圆筒的碰撞次数n．

解答 解：（1）粒子从开始运动到射入磁场的过程，电场力做功．由动能定理：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
匀强电场中有：U=Ed
联立上式，得：E=$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$
（2）粒子进入磁场后又从S点射出，关键几何关系可知，两碰撞点和S将圆筒三等分．设粒子在磁场中运动的轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
根据几何关系：r=$\sqrt{3}$R
联立上式，解得：R=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）保持MN之间的电场强度不变，仅将M板向上平移$\frac{2}{3}$d后，
U′=$\frac{U}{3}$
qU′=$\frac{1}{2}$mv′²
于是：v′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v，r′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=R
此时粒子经过$\frac{1}{4}$圆后与圆筒发生碰撞，所以粒子将在于圆筒壁发生三次碰撞后由S点射出．
答：（1）M、N间电场强度E的大小$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$；
（2）圆筒的半径：R=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移$\frac{2}{3}$d，粒子与圆筒的碰撞3次．

点评 解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．该题对空间思维的能力要求比较高．